Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho phương trình $\log _2^2x - \left( {m + 1} \right){\log _2}x + 2m - 3 = 0\,$có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left( {2\,;\,16} \right)$ ?

A. $2$.

B. $1$.

C. $3$.

D. $4$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề minh họa môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Lời giải

Đặt $t = {\log _2}x$. Phương trình trở thành: ${t^2} - \left( {m + 1} \right)t + 2m - 3 = 0$.

$Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho phương trình $\log _2^2x - \left( {m + 1} \right){\log _2}x + 2m - 3 = 0\,$có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng \(\left( {2\, (ảnh 1)$

Vậy $x \in \left( {2\,;\,16} \right) \Rightarrow t \in \left( {1\,;\,4} \right)$.

Yêu cầu bài toán trở thành: Phương trình $f\left( t \right) = {t^2} - \left( {m + 1} \right)t + 2m - 3 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $\left( {1\,;\,4} \right)$.

$f\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2} - \left( {m + 1} \right)t + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - t - 3 = m\left( {t - 2} \right)$.

TH1: $t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = 2$. Khi đó: $f\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 1 = 0\,\,\left( {{\rm{VL}}} \right)$.

TH2: $t - 2 \ne 0 \Leftrightarrow t \ne 2$. Khi đó: $f\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow m = \underbrace {\frac{{{t^2} - t - 3}}{{t - 2}}}_{g\left( t \right)}$.

$g\left( t \right) = \frac{{{t^2} - t - 3}}{{t - 2}} \Rightarrow g'\left( t \right) = \frac{{{t^2} - 4t + 5}}{{{{\left( {t - 2} \right)}^2}}} >0\,\,\forall t \in \left( {1\,;\,4} \right)\backslash \left\{ 2 \right\}$.

Vậy: $3 < m < \frac{9}{2}$ thỏa đề. Mà $m \in \mathbb{Z}$ suy ra $m = 4$.

Chọn đáp án B

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Ông A bị nhiễm một loại vi rút nên phải nhập viện và được điều trị ngay lập tức. Kể từ ngày bắt đầu nhập viện, sau mỗi ngày điều trị thì số lượng virut trong cơ thể ông A giảm đi \[10\% \] so với ngày trước đó. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì ông A sẽ được xuất viện biết ông được xuất viện khi lượng virut trong cơ thể của ông không vượt quá \[30\% \]?

A. 11 ngày.

B. 13 ngày.

C. 12 ngày.

D. 14 ngày.

Lời giải

Gọi \[{N_0}\] là lượng vi rút trong cơ thể ông A ngay khi nhập viện.

Sau \[n\] ngày \[\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\], lượng vi rút trong cơ thể ông A là \[N = {N_0}{\left( {1 - 10\% } \right)^n}\].

Ông A được xuất viện khi

\[\frac{N}{{{N_0}}} \le 30\% \Rightarrow {\left( {1 - 10\% } \right)^n} \le 30\% \Rightarrow {\left( {\frac{9}{{10}}} \right)^n} \le \frac{3}{{10}} \Rightarrow n \ge {\log _{\frac{9}{{10}}}}\frac{3}{{10}} \approx 11,4 \Rightarrow n \ge 12\,\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)\].

Vậy sau ít nhất 12 ngày thì ông A được xuất viện.

Chọn đáp án C

Câu 2