Người ta gọt một khối lập phương gỗ để lấy khối tám mặt đều nội tiếp nó (tức là khối có các đỉnh là các tâm của các mặt khối lập phương). Biết các cạnh của khối lập phương bằng a. Hãy tính thể tích của khối tâm mặt đều đó.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c là các số thực khác 0, mặt phẳng (ABC) đi qua điểm M(2; 4; 5). Biết rằng mặt cầu (S):${(x-1)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{(z-3)}^2=25$ cắt mặt phẳng (ABC) theo giao tuyến là một đường tròn có chu vi $8\pi$ . Giá trị của biểu thức a + b + c bằng

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{(x-1)}^2+{(y-2)}^2+{(z-3)}^2=25$ . Mặt phẳng (Oxy) cắt mặt cầu (S) theo một thiết diện là đường tròn (C). Diện tích của đường tròn (C) là

Trong không gian (Oxyz), cho hai đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-7}{1}=\frac{z-3}{4}$  và $d\text{'}:\frac{x-6}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+2}{1}$ . Vị trí tương đối của hai đường thẳng này là.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): $x-2y+3z-4=0$  và hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z+1}{2},d_2:\frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{1}=\frac{z+1}{1}$ . Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$  song song với (P) và cắt $d_1,d_2$  theo thứ tự tại M, N sao cho $MN=\sqrt{3}$ . Điểm nào sau đây thuộc $\left(\alpha \right)$ ?