Trong không gian, cho hình trụ (T) có chiều cao bằng 8cm. Mặt phẳng (α) song song với trục của (T), cắt (T) theo thiết diện (D) là một hình vuông. Khoảng cách từ trục của (T) đến mặt phẳng chứa (D) bằng 3cm. Tính thể tích của khối trụ đã cho.

Trong không gian Oxyz,cho hai vectơ \[\vec u = \left( {1;0;2} \right)\] và \[\vec v = \left( { - 1;2;0} \right).\] Tính \[P = \cos \left( {\vec u;\vec v} \right).\]

Trong không gian Oxyz,cho hai đường thẳng \[d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}\] và \[d':\frac{{x + 2}}{4} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{1}.\] Biết rằng d cắt \[d'\] tại \[A\left( {a;b;c} \right).\] Tính \[S = a + b + c.\]

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \[y = \left| {{x^4} - 4{x^3} - 8{x^2} - m} \right|\] có đúng 7 điểm cực trị?

Trong không gian Oxyz,cho điểm M thuộc mặt cầu (S) có phương trình \[{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9\] và ba điểm \[A\left( {1;0;0} \right)\], \[B\left( {2;1;3} \right)\]; \[C\left( {0;2; - 3} \right)\]. Biết rằng quỹ tích các điểm M thỏa mãn \[M{A^2} + 2\overrightarrow {MB} .\overrightarrow {MC} = 8\] là một đường tròn cố định, tính bán kính r đường tròn này.

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {x^2} - 4x + 4\], trục tung và trục hoành. Xác định \[k\] để đường thẳng d đi qua điểm \[A\left( {0;4} \right)\] có hệ số góc \[k\] chia (H) thành hai phần có diện tích bằng nhau (như hình vẽ bên).

Cho \[a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}x\] là các số thực dương tùy ý thỏa mãn \[{\log _2}x = 2{\log _2}a + 3{\log _2}b.\] Mệnh đề nào dưới đây là đúng?