Câu hỏi:

22/04/2022 252

Cho hình vuông $A B C D$ cạnh $a,$ trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(A B C D)$ tại $A$ ta lấy điểm $S$ di động không trùng với $A$ . Hình chiếu vuông góc của $A$ lên $S B, S D$ lần lượt là $H, K$ . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện $A C H K$ .

A. $\frac{a^{3} \sqrt{6}}{32}$

B. $\frac{a^{3}}{6}$

C. $\frac{a^{3} \sqrt{3}}{16}$

Đáp án chính xác

D. $\frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 35 đề minh họa THPT Quốc gia môn Toán năm 2022 có lời giải !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Chọn C

Cho hình vuông cạnh trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tại ta lấy điểm di động không trùng với . Hình chiếu vuông góc của lên lần lượt là . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện . (ảnh 1)

Ta sẽ sử dụng công thức $V = \frac{1}{6} a . b . d (a, b) . \sin (a, b)$ (với a,b chéo nhau).

Đặt $S A = x (x > 0)$ .

Xét tam giác $S A B$ vuông tại $A$ có $S A^{2} = S H . S B \Rightarrow \frac{S H}{S B} = \frac{S A^{2}}{S B^{2}} = \frac{x^{2}}{x^{2} + a^{2}}$ .

Mà $\frac{S K}{S D} = \frac{S H}{S B} = \frac{H K}{B D} \Rightarrow \frac{S K}{S D} = \frac{H K}{B D} = \frac{x^{2}}{x^{2} + a^{2}} \Rightarrow$ $H K = \frac{x^{2} a \sqrt{2}}{a^{2} + x^{2}}$

Lại có $\frac{I H}{S A} = \frac{H B}{S B} = \frac{S B - S H}{S B} = 1 - \frac{S H}{S B} = 1 - \frac{x^{2}}{x^{2} + a^{2}} = \frac{a^{2}}{x^{2} + a^{2}} \Rightarrow$ $I H = \frac{a^{2} x}{a^{2} + x^{2}}$

Mặt khác ta có $A C$ và $H K$ chéo nhau và $H K / / (A B C D); A C \subset (A B C D)$ nên $H I = d (K H, A C)$ và $A C ⊥ H K$

Khi đó $\cdot V_{A C B R} = \frac{1}{6} A C . K H . H I = \frac{1}{6} \cdot a \sqrt{2} \cdot \frac{x^{2} a \sqrt{2}}{a^{2} + x^{2}} \cdot \frac{a^{2} x}{a^{2} + x^{2}} = \frac{a^{4}}{3} \cdot \frac{x^{3}}{{(a^{2} + x^{2})}^{2}}$

Xét hàm $f (x) = \frac{x^{3}}{{(x^{2} + a^{2})}^{2}}$ trên $(0; + \infty)$ có $f^{'} (x) = \frac{- x^{6} + 2 a^{2} x^{4} + 3 a^{4} x^{2}}{{(x^{2} + a^{2})}^{4}}$

$\Rightarrow f^{'} (x) = 0$ $\Leftrightarrow - x^{6} + 2 a^{2} x^{4} + 3 a^{4} x^{2} = 0$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} = 0 (L) \\ x^{2} = - a^{2} (V N) \\ x^{2} = 3 a^{2} \end{array}$ $\Leftrightarrow x = a \sqrt{3}$ (do $x > 0$ ).

Bảng biến thiên

Cho hình vuông cạnh trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tại ta lấy điểm di động không trùng với . Hình chiếu vuông góc của lên lần lượt là . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện . (ảnh 2)

Suy ra $\max_{_{(0; + \infty)}} f (x) = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{16}$ khi $x = a \sqrt{3}$

Vậy thể tích khối tứ diện $A C H K$ lớn nhất bằng $V_{\max} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{16}$

Bình luận

Câu 1:

Cho đồ thị hàm đa thức $y = f (x)$ như hình vẽ. Hỏi hàm số $g (x) = f (x) . f (2 x + 1)$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị

A. $5$

B. $6$

C. $7$

D. $9$

Xem đáp án » 22/04/2022 5,238

Câu 2:

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ có đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ cho như hình vẽ.

Hàm số $g (x) = 2 f (|x - 1|) - x^{2} + 2 x + 2020$ đồng biến trên khoảng nào?

A. $(- 2; 0)$

B. $(- 3; 1)$

C. $(1; 3)$

D. $(0; 1)$

Xem đáp án » 22/04/2022 3,368

Câu 3:

Cho hàm số $y = f (x)$ là hàm đa thức bậc bốn, có đồ thị $f^{'} (x)$ như hình vẽ

Phương trình $f (x) = 0$ có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

A. $f (0) > 0$

B. $f (0) < 0 < f (m)$

C. $f (m) < 0 < f (n)$

D. $f (0) < 0 < f (n)$

Xem đáp án » 19/04/2022 2,953

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng $(S A D)$ .

A. $\frac{a \sqrt{3}}{6}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a \sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{a \sqrt{3}}{4}$

Xem đáp án » 19/04/2022 2,146

Câu 5:

Cho mặt cầu có bán kính $R = 3.$ Diện tích của mặt cầu đã cho bằng

A. $9 π$

B. $36 π$

C. $18 π$

D. $16 π$

Xem đáp án » 18/04/2022 2,062

Câu 6:

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{6} x$ và các đường thẳng $y = 0, x = 1, x = 2$ . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng

A. $π \int_{1}^{2} \sqrt{6} x d x$

B. $π \int_{1}^{2} 6 x^{2} d x$

C. $π \int_{0}^{2} 6 x^{2} d x$

D. $π \int_{0}^{1} 6 x^{2} d x$

Xem đáp án » 18/04/2022 1,263

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M (1; 0; 2)$ và đường thẳng $Δ : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{- 1} .$ Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với $Δ$ có phương trình là

A. $x + 2 y - z - 3 = 0.$

B. $x + 2 y - z - 1 = 0.$

C. $x + 2 y - z + 1 = 0.$

D. $x + 2 y + z + 1 = 0.$

Xem đáp án » 19/04/2022 1,250

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho đồ thị hàm đa thức $y = f (x)$ như hình vẽ. Hỏi hàm số $g (x) = f (x) . f (2 x + 1)$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ có đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ cho như hình vẽ.

Hàm số $g (x) = 2 f (|x - 1|) - x^{2} + 2 x + 2020$ đồng biến trên khoảng nào?

Cho hàm số $y = f (x)$ là hàm đa thức bậc bốn, có đồ thị $f^{'} (x)$ như hình vẽ

Phương trình $f (x) = 0$ có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng $(S A D)$ .

Cho mặt cầu có bán kính $R = 3.$ Diện tích của mặt cầu đã cho bằng

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{6} x$ và các đường thẳng $y = 0, x = 1, x = 2$ . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M (1; 0; 2)$ và đường thẳng $Δ : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{- 1} .$ Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với $Δ$ có phương trình là

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho hình vuông ABCD cạnh a, trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD tại A ta lấy điểm S di động không trùng với A. Hình chiếu vuông góc của A lên SB, SD lần lượt là H, K. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ACHK.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho đồ thị hàm đa thức y=fx như hình vẽ. Hỏi hàm số gx=fx.f2x+1có tất cả bao nhiêu điểm cực trị

Cho hàm số y=fx liên tục trên ℝcó đồ thị hàm số y=f'x cho như hình vẽ. Hàm số gx=2fx−1−x2+2x+2020 đồng biến trên khoảng nào?

Cho hàm số y=fx là hàm đa thức bậc bốn, có đồ thị f'x như hình vẽ Phương trình fx=0 có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAD.

Cho mặt cầu có bán kính R=3. Diện tích của mặt cầu đã cho bằng

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số y=6x và các đường thẳng y=0, x=1, x=2. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng

Trong không gian Oxyz, cho điểm M1;0;2 và đường thẳng Δ:x−21=y+12=z−3−1. Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với Δ có phương trình là

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho đồ thị hàm đa thức $y = f (x)$ như hình vẽ. Hỏi hàm số $g (x) = f (x) . f (2 x + 1)$ có tất cả bao nhiêu điểm cực trị

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $ℝ$ có đồ thị hàm số $y = f^{'} (x)$ cho như hình vẽ.

Hàm số $g (x) = 2 f (|x - 1|) - x^{2} + 2 x + 2020$ đồng biến trên khoảng nào?

Cho hàm số $y = f (x)$ là hàm đa thức bậc bốn, có đồ thị $f^{'} (x)$ như hình vẽ

Phương trình $f (x) = 0$ có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng $(S A D)$ .

Cho mặt cầu có bán kính $R = 3.$ Diện tích của mặt cầu đã cho bằng

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sqrt{6} x$ và các đường thẳng $y = 0, x = 1, x = 2$ . Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M (1; 0; 2)$ và đường thẳng $Δ : \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 3}{- 1} .$ Mặt phẳng đi qua M và vuông góc với $Δ$ có phương trình là