Câu hỏi:

19/04/2022 2,596

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình vuông cạnh $2 a$ . Tam giác $S A B$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $α$ là góc tạo bởi đường thẳng $S D$ và mặt phẳng $(S B C)$ , với $α < 45^{0}$ . Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp $S . A B C D$ .

A. $4 a^{3}$

B. $\frac{8 a^{3}}{3}$

C. $\frac{4 a^{3}}{3}$

D. $\frac{2 a^{3}}{3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án C

Gọi $D'$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $S A D D'$ .

Khi đó $D D' / / S A$ mà $S A ⊥ (S B C)$ nên $D D' ⊥ (S B C)$ .

Ta có $\hat{(S D, (S B C))} = α = \hat{D S D'} = \hat{S D A}$ , do đó $S A = A D . \tan α = 2 a \tan α$

Đặt $\tan α = x, x \in (0; 1)$

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $A B$ , ta có $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S H . S_{A B C D} = \frac{4 a^{2}}{3} . S H$

Do đó $V_{S . A B C D}$ đạt giá trị lớn nhất khi $S H$ lớn nhất.

Vì $Δ S A B$ vuông tại $S$ nên

$S H = \frac{S A . A B}{A B} = \frac{S A \sqrt{A B^{2} - S A^{2}}}{A B} = \frac{2 a x \sqrt{4 a^{2} - 4 a^{2} x^{2}}}{2 a} = 2 a x \sqrt{1 - x^{2}} \leq 2 a . \frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{2} = a$ .

Từ đó $\max S H = a$ khi $\tan α = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy $\max V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} a .4 a^{2} = \frac{4}{3} a^{3}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A ⊥ (A B C), S A = 2 a \sqrt{3}, A B = 2 a$ , tam giác vuông cân tại $B$ . Gọi $M$ là trung điểm của $S B$ . Góc giữa đường thẳng $C M$ và mặt phẳng $(S A B)$ bằng:

A. $90^{0}$

B. $60^{0}$

C. $45^{0}$

D. $30^{0}$

Lời giải

Đáp án C

Có $\{\begin{cases} B C ⊥ A B \\ B C ⊥ S A \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A B)$

Có $B M$ là hình chiếu của $C M$ lên mặt phẳng $(S A B)$ .

Suy ra $(C M, (S A B)) = \hat{C M B}$

Ta có: $\tan \hat{C M B} = \frac{B C}{M B} = \frac{2 A B}{S B} = \frac{2 A B}{\sqrt{S A^{2} + A B^{2}}} = \frac{2.2 a}{\sqrt{{(2 a \sqrt{3})}^{2} + {(2 a)}^{2}}} = 1$

Vậy $(C M, (S A B)) = 45^{0}$ .

Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với (ABC) , SA = 2a căn bậc 2 của 3, AB = 2a, tam giác vuông cân tại B (ảnh 1)

Câu 2

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ \ \{- 1\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình $2 f (x) - 4 = 0$ là:

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Lời giải

Đáp án C

Ta có: $2 f (x) - 4 = 0 \Leftrightarrow f (x) = 2$

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y = f (x)$ và đường thẳng $y = 2$ .

Dựa vào bảng biến thiên, ta có đồ thị hàm số $y = f (x)$ cắt đường thẳng $y = 2$ tại 2 điểm phân biệt.

Vậy phương trình $2 f (x) - 4 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 3

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 1$ có đồ thị $(C)$ . Tiếp tuyến của $(C)$ có hệ số góc nhỏ nhất là bao nhiêu?

A. 4

B. 3

C. 1

D. 2

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho lăng trụ đứng tam giác $A B C . A' B' C'$ có đáy là một tam giác vuông cân tại $B, A B = B C = a, A A' = a \sqrt{2}, M$ là trung điểm $B C$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A M$ và $B' C$ .

A. $\frac{a \sqrt{7}}{7}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{2 a}{\sqrt{5}}$

D. $a \sqrt{3}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Biết $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm $f (x) = \sin 2 x$ và $F (\frac{π}{4}) = 1$ . Tính $F (\frac{π}{6})$ ?

A. $F (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}$

B. $F (\frac{π}{6}) = 0$

C. $F (\frac{π}{6}) = \frac{3}{4}$

D. $F (\frac{π}{6}) = \frac{5}{4}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{1}{\cos x}$ trên khoảng $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ là:

A. $π$

B. $- 1$

C. 1

D. Không tồn tại

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Tìm tập nghiệm $S$ của phương trình $3^{x} = 2$ :

A. $S = \{\frac{2}{3}\}$

B. $S = \{\log_{3} 2\}$

C. $S = \emptyset$

D. $S = \{\log_{2} 3\}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Giáo dục công dân

Tin học

Tiếng Anh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

ĐHQG Hồ Chí Minh

ĐH Bách Khoa

ĐHQG Hà Nội

Bộ Công an

ĐHSP Hà Nội

Bằng lái xe

English Test

IT Test

Đại học

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Tin học

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Global success

iLearn Smart World

Friends Global

Explore new worlds

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học

Lịch sử

Địa lý

Sinh học

Công nghệ

Tin học

Giáo dục Quốc Phòng và An Ninh

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Toán

Văn

Vật lý

Hóa học