Câu hỏi:

19/04/2022 879

Trong không gian với hệ tọa độ $O x y z$ , cho điểm $A (0; 8; 2)$ và mặt cầu $(S)$ có phương trình $(S) : {(x - 5)}^{2} + {(y + 3)}^{2} + {(z - 7)}^{2} = 72$ và điểm $B (9; - 7; 23)$ . Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ qua $A$ và tiếp xúc với $(S)$ sao cho khoảng cách từ $B$ đến $(P)$ lớn nhất. Giả sử $\vec{n} = (1; m; n) (m, n \in ℤ)$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$ , tính tích $m . n$ .

A. $m . n = 2$

B. $m . n = - 2$

C. $m . n = 4$

D. $m . n = - 4$

Đáp án chính xác

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D

Cách 1:

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I (5; - 3; 7)$ và bán kính $R = 6 \sqrt{2}$

$\vec{I A} = (- 5; 11; - 5) \Rightarrow I A = \sqrt{171} > 6 \sqrt{2}$ nên điểm $A$ nằm ngoài mặt cầu.

$\vec{I B} = (4; - 4; 16) \Rightarrow I B = 12 \sqrt{2} > 6 \sqrt{2}$ nên điểm $B$ nằm ngoài mặt cầu.

$\Rightarrow$ $A, I, B$ không thẳng hàng.

Mặt phẳng $(P)$ qua $A$ và tiếp xúc với $(S)$ nên khi $(P)$ thay đổi thì tập hợp các đường thẳng qua $A$ và tiếp điểm tạo thành hình nón.

Gọi $(A B, (P)) = α \Rightarrow d (B, (P)) = A B . \sin α$ đạt giá trị lớn nhất $A, B, I, H$ đồng phẳng $\Leftrightarrow (A I B) ⊥ (P)$ ( $H$ là hình chiếu của $B$ lên $(P)$ ).

Mặt phẳng $(P)$ qua $A$ và nhận $\vec{n} = (1; m; n)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $x + m y - n z - 8 m - 2 n = 0$ .

Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với $(S) \Leftrightarrow d (I, (P)) = R$ .

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{|5 n - 11 m + 5|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = 6 \sqrt{2} \Leftrightarrow {(5 n - 11 m + 5)}^{2} = 72 (1 + m^{2} + n^{2}) \\ \Leftrightarrow 49 m^{2} - 47 n^{2} - 110 m n + 50 n - 110 m - 47 = 0 (1) \end{array}$

Ta có: $[\vec{I A}, \vec{I B}] = (156; 70; - 24)$ .

Gọi $\vec{n_{1}}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(A I B)$ , chọn $\vec{n_{1}} = (13; 5; - 2)$

Do $(A I B) ⊥ (P) \Leftrightarrow \vec{n_{1}} . \vec{n} = 0 \Leftrightarrow 13 + 5 m - 2 n = 0 (2)$

Thế (2) vào (1) ta được phương trình: $2079 m^{2} + 8910 m + 6831 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = - 1 \\ m = - \frac{6831}{2079} (l) \end{array}$

Thay $m = - 1$ vào (2) suy ra: $n = 4$

Vậy $m . n = - 4$ .

Cách 2:

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I (5; - 3; 7)$ và bán kính $R = 6 \sqrt{2}$

Mặt phẳng $(P)$ qua $A$ và nhận $\vec{n} = (1; m; n)$ làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình $x + m y + n z - 8 m - 2 n = 0$ .

Mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với $(S)$ :

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow d (I, (P)) = R \Leftrightarrow \frac{|5 n - 11 m + 5|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = 6 \sqrt{2} \\ \Leftrightarrow d (B, (P)) = \frac{|21 n - 15 m + 9|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = \frac{|5 n - 11 m + 5 - 4 m + 16 n + 4|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} \\ \leq \frac{|5 n - 11 m + 5| + 4 |4 n - m + 1|}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} \leq 6 \sqrt{2} + 4 \frac{\sqrt{(4^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}) (n^{2} + m^{2} + 1)}}{\sqrt{1 + m^{2} + n^{2}}} = 18 \sqrt{2} \end{array}$

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{n}{4} = \frac{m}{- 1} = \frac{1}{1} \Leftrightarrow m = - 1; n = 4$

Vậy $m . n = - 4$ .

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ \ \{- 1\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình $2 f (x) - 4 = 0$ là:

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

Xem đáp án » 19/04/2022 18,125

Câu 2:

Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A ⊥ (A B C), S A = 2 a \sqrt{3}, A B = 2 a$ , tam giác vuông cân tại $B$ . Gọi $M$ là trung điểm của $S B$ . Góc giữa đường thẳng $C M$ và mặt phẳng $(S A B)$ bằng:

A. $90^{0}$

B. $60^{0}$

C. $45^{0}$

D. $30^{0}$

Xem đáp án » 19/04/2022 15,333

Câu 3:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 1$ có đồ thị $(C)$ . Tiếp tuyến của $(C)$ có hệ số góc nhỏ nhất là bao nhiêu?

A. 4

B. 3

C. 1

D. 2

Xem đáp án » 19/04/2022 7,736

Câu 4:

Biết $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm $f (x) = \sin 2 x$ và $F (\frac{π}{4}) = 1$ . Tính $F (\frac{π}{6})$ ?

A. $F (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}$

B. $F (\frac{π}{6}) = 0$

C. $F (\frac{π}{6}) = \frac{3}{4}$

D. $F (\frac{π}{6}) = \frac{5}{4}$

Xem đáp án » 19/04/2022 6,004

Câu 5:

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{1}{\cos x}$ trên khoảng $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ là:

A. $π$

B. $- 1$

C. 1

D. Không tồn tại

Xem đáp án » 19/04/2022 4,149

Câu 6:

Cho lăng trụ đứng tam giác $A B C . A' B' C'$ có đáy là một tam giác vuông cân tại $B, A B = B C = a, A A' = a \sqrt{2}, M$ là trung điểm $B C$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A M$ và $B' C$ .

A. $\frac{a \sqrt{7}}{7}$

B. $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{2 a}{\sqrt{5}}$

D. $a \sqrt{3}$

Xem đáp án » 19/04/2022 3,454

Câu 7:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ \ \{1\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình bên dưới:

Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Xem đáp án » 19/04/2022 2,652

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ \ \{- 1\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình $2 f (x) - 4 = 0$ là:

Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A ⊥ (A B C), S A = 2 a \sqrt{3}, A B = 2 a$ , tam giác vuông cân tại $B$ . Gọi $M$ là trung điểm của $S B$ . Góc giữa đường thẳng $C M$ và mặt phẳng $(S A B)$ bằng:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 1$ có đồ thị $(C)$ . Tiếp tuyến của $(C)$ có hệ số góc nhỏ nhất là bao nhiêu?

Biết $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm $f (x) = \sin 2 x$ và $F (\frac{π}{4}) = 1$ . Tính $F (\frac{π}{6})$ ?

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{1}{\cos x}$ trên khoảng $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ là:

Cho lăng trụ đứng tam giác $A B C . A' B' C'$ có đáy là một tam giác vuông cân tại $B, A B = B C = a, A A' = a \sqrt{2}, M$ là trung điểm $B C$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A M$ và $B' C$ .

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ \ \{1\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình bên dưới:

Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số y=fx xác định trên ℝ\−1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau: Số nghiệm thực của phương trình 2fx−4=0 là:

Cho hình chóp S.ABC có SA⊥ABC,SA=2a3,AB=2a , tam giác vuông cân tại B . Gọi M là trung điểm của SB . Góc giữa đường thẳng CM và mặt phẳng SAB bằng:

Cho hàm số y=x3−3x2+6x+1 có đồ thị C . Tiếp tuyến của C có hệ số góc nhỏ nhất là bao nhiêu?

Biết Fx là một nguyên hàm của hàm fx=sin2x và Fπ4=1 . Tính Fπ6 ?

Giá trị lớn nhất của hàm số y=1cosx trên khoảng π2;3π2 là:

Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là một tam giác vuông cân tại B,AB=BC=a,AA'=a2, M là trung điểm BC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C.

Cho hàm số y=fx xác định trên ℝ\1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình bên dưới: Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ \ \{- 1\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực của phương trình $2 f (x) - 4 = 0$ là:

Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A ⊥ (A B C), S A = 2 a \sqrt{3}, A B = 2 a$ , tam giác vuông cân tại $B$ . Gọi $M$ là trung điểm của $S B$ . Góc giữa đường thẳng $C M$ và mặt phẳng $(S A B)$ bằng:

Cho hàm số $y = x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 1$ có đồ thị $(C)$ . Tiếp tuyến của $(C)$ có hệ số góc nhỏ nhất là bao nhiêu?

Biết $F (x)$ là một nguyên hàm của hàm $f (x) = \sin 2 x$ và $F (\frac{π}{4}) = 1$ . Tính $F (\frac{π}{6})$ ?

Giá trị lớn nhất của hàm số $y = \frac{1}{\cos x}$ trên khoảng $(\frac{π}{2}; \frac{3 π}{2})$ là:

Cho lăng trụ đứng tam giác $A B C . A' B' C'$ có đáy là một tam giác vuông cân tại $B, A B = B C = a, A A' = a \sqrt{2}, M$ là trung điểm $B C$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A M$ và $B' C$ .

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $ℝ \ \{1\}$ , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình bên dưới:

Hỏi đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?