Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2), C(1;1;1). Phương trình mặt phẳng (P) nào sau đây thỏa mãn (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P) bằng $\sqrt{3}$ ?

Đáp án A

Gọi $\overrightarrow{n}=\left(a;b;c\right)$  (điều kiện a² + b² + c² > 0 ) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(-1;1;0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(a;b;c\right)$ là 

 $a\left(x+1\right)+b\left(y-1\right)+cz=0\iff ax+by+cz+a-b=0$ (1).

Điểm B(0;0;-2) thuộc mặt phẳng (P) nên -2c + a-b = 0  b = a - 2c (2).

Khoảng cách từ điểm C(1;1;1) đến mặt phẳng (P) bằng $\sqrt{3}$  nên $\frac{\left|a+b+c+a-b\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\sqrt{3}\iff \left|2a+c\right|=\sqrt{3}.\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ (3).

Thế (2) vào (3) và bình phương hai vế ta được 

${\left(2a+c\right)}^2=3\left[a^2+{\left(a-2c\right)}^2+c^2\right]\iff 2a^2-16ac+14c^2=0\iff \left[\begin{array}{l}a=c\\ a=7c\end{array}\right.$

 +) a = c, chọn $\left\{\begin{array}{l}a=1\\ c=1\end{array}\right.$  thế vào (2) ta được b = -1.

Phương trình mặt phẳng (P₁) là x - y + z + 2 = 0.

+) a = 7c , chọn $\left\{\begin{array}{l}a=7\\ c=1\end{array}\right.$ thế vào (2) ta được b = 5.

Phương trình mặt phẳng (P₂) là 7x + 5y + z + 2 = 0.

Vậy có hai phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là ( P₁): x - y + z + 2 = 0 và (P₂): 7x + 5y+ z + 2 = 0.