Câu hỏi:

21/04/2022 453

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F lần lượt là các điểm đối xứng của B qua C, D và M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi (T) là thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MEF). Tính diện tích S của thiết diện (T).

A. $S = \frac{a^{2}}{2}$

B. $S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{6}$

C. $S = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{9}$

D. $S = \frac{a^{2}}{6}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề thi thử THPT Quốc gia môn Toán có chọn lọc và lời giải chi tiết (20 đề) !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án D

Ta có thiết diện (T) là tam giác MHK như hình vẽ.

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi E, F lần lượt là các điểm đối xứng của B qua C, D và M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Gọi (T) là thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MEF). Tính diện tích S của thiết diện (T). (ảnh 1)

Dễ thấy H, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABE, ABF (đều là giao 2 đường trung tuyến).

Khi đó: $\frac{A H}{A C} = \frac{A K}{A D} = \frac{2}{3} \Rightarrow H K // CD \Rightarrow HK= \frac{2}{3} C D = \frac{2 a}{3}$

Ta có: $M H^{2} = A M^{2} + A H^{2} - 2 A M . A H . \cos 60 °$

$= {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{2 a}{3})}^{2} - 2. \frac{a}{2} . \frac{2 a}{3} . \frac{1}{2} = \frac{13 a^{2}}{36}$ .

Suy ra $M K = M H = \frac{a \sqrt{13}}{6}$ .

Xét tam giác cân MHK như hình vẽ.

Ta có: $M I = \sqrt{M H^{2} - I H^{2}} = \sqrt{\frac{13 a^{2}}{36} - {(\frac{a}{3})}^{2}} = \frac{a}{2}$

$\Rightarrow S_{M H K} = \frac{1}{2} M I . H K = \frac{1}{2} . \frac{a}{2} . \frac{2 a}{3} = \frac{a^{2}}{6}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm $A (0; - 1; - 1), B (- 1; - 3; 1)$ . Giả sử C, D là hai điểm di động thuộc mặt phẳng $(P) : 2 x + y - 2 z - 1 = 0$ sao cho CD = 4 và A, C, D thẳng hàng. Gọi $S_{1}, S_{2}$ lần lượt là diện tích lớn nhất và nhỏ nhất của tam giác BCD. Khi đó tổng $S_{1} + S_{2}$ có giá trị bằng bao nhiêu?

A. $\frac{34}{3}$

B. $\frac{17}{3}$

C. $\frac{11}{3}$

D. $\frac{37}{3}$

Lời giải

Đáp án A

Gọi K và H lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên mặt phẳng (P) và đường thẳng CD.

Khi đó: $B K \leq B H \leq A B$ (*)

Ta có: $S_{Δ B C D} = \frac{B H . C D}{2} = 2 B H \overset{(*)}{\to} 2 B K \leq S_{Δ B C D} \leq 2 A B$ (1).

Ta có $B K = d (B, (P)) = \frac{|- 2 - 3 - 2 - 1|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} = \frac{8}{3}$ và $A B = 3$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra: $S_{2} = \frac{16}{3} \leq S_{Δ B C D} \leq 6 = S_{1} \Rightarrow S_{1} + S_{2} = \frac{34}{3}$ .

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;-1;-1), B(-1;-3;1) . Giả sử C, D là hai điểm di động thuộc mặt phẳng (ảnh 1)

Câu 2

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A (- 1; 2; 4)$ . Điểm nào sau đây là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oyz)?

A. $M (- 1; 0; 0)$

B. $N (0; 2; 4)$

C. $P (- 1; 0; 4)$

D. $Q (- 1; 2; 0)$

Lời giải

Đáp án B

Hình chiếu vuông góc của $A (- 1; 2; 4)$ trên mặt phẳng (Oyz) là điểm $N (0; 2; 4)$

Chú ý: Điểm $A (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ có hình chiếu vuông góc lên:

ü Mặt phẳng:

(Oxy) là điểm $A_{1} (x_{0}; y_{0}; 0)$

(Oyz) là điểm $A_{2} (0; y_{0}; z_{0})$

(Oxz) là điểm $A_{3} (x_{0}; 0; z_{0})$

ü Trục:

Ox là điểm $A_{4} (x_{0}; 0; 0)$

Oy là điểm $A_{5} (0; y_{0}; 0)$

Oz là điểm $A_{6} (0; 0; z_{0})$

Câu 3

Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt phẳng (SAC), (SAB) cùng vuông góc với đáy và góc tạo bởi SC và đáy bằng $60 °$ . Tính khoảng cách h từ A tới mặt phẳng (SBC) theo a.

A. $h = \frac{a \sqrt{15}}{5}$

B. $h = \frac{a \sqrt{3}}{3}$

C. $h = \frac{a \sqrt{15}}{3}$

D. $h = \frac{a \sqrt{3}}{5}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi ít nhất sau bao nhiêu năm người đó thu được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu?

A. 8

B. 9

C. 10

D. 11

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Có bao nhiêu số có bốn chữ số có dạng $\bar{a b c d}$ sao cho $a < b < c \leq d$ .

A. 426

B. 246

C. 210

D. 330

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không có nghĩa?

A. ${(\sqrt{2})}^{\frac{3}{5}}$

B. ${(- 3)}^{- 2}$

C. ${6,9}^{- \frac{3}{4}}$

D. ${(- 5)}^{\frac{1}{3}}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, CD và P là điểm trên cạnh $B B^{'}$ sao cho $B P = 3 P B^{'}$ . Mặt phẳng (MNP) chia khối lập phương thành hai khối lần lượt có thể tích $V_{1}, V_{2}$ . Biết khối có thể tích $V_{1}$ chứa điểm A. Tính tỉ số $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ .

A. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{4}$

B. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{25}{71}$

C. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{8}$

D. $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{25}{96}$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Hơn 100K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 2tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện

Mua ngay

Bình luận

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(−1;2;4) . Điểm nào sau đây là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oyz)?

Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt phẳng (SAC), (SAB) cùng vuông góc với đáy và góc tạo bởi SC và đáy bằng 60° . Tính khoảng cách h từ A tới mặt phẳng (SBC) theo a.

Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn. Hỏi ít nhất sau bao nhiêu năm người đó thu được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu?

Có bao nhiêu số có bốn chữ số có dạng abcd¯ sao cho a<b<c≤d.

Trong các biểu thức sau, biểu thức nào không có nghĩa?

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $A (- 1; 2; 4)$ . Điểm nào sau đây là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (Oyz)?

Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác đều cạnh a. Hai mặt phẳng (SAC), (SAB) cùng vuông góc với đáy và góc tạo bởi SC và đáy bằng $60 °$ . Tính khoảng cách h từ A tới mặt phẳng (SBC) theo a.

Có bao nhiêu số có bốn chữ số có dạng $\bar{a b c d}$ sao cho $a < b < c \leq d$ .