Hình chữ nhật ABCD có $AB=\mathrm{4,}AD=2$ . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD .Cho hình chữ nhật quay quanh MN ta được một khối tròn xoay có thể tích V bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$  biết $A\left(1;0;0\right)$ $,B\left(5;0;0\right),C\left(5;4;0\right)$   và chiều cao hình chóp bằng 6. Gọi $I\left(a;b;c\right)$  là điểm cách đều 5 đỉnh của hình chóp (với c>0). Tính giá trị của $T=a+2b+3c$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $d_1:\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+1}{2}$ ; $d_2:\left\{\begin{array}{l}x=3t\\ y=4-t\\ z=2+2t\end{array}\right.$  và mặt phẳng Oxz cắt $d_1,d_2$  lần lượt tại các điểm  A, B. Diện tích S  của tam giác OAB bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu (S) có tâm I(3;1;-3) và cắt trục tung Oy tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông. Phương trình mặt cầu (S) là

Từ miếng tôn hình vuông ABCD cạnh bằng 8dm, người ta cắt ra hình quạt tâm A bán kính $AB=8\text{dm}$  (như hình vẽ) để cuộn lại thành chiếc phễu hình nón (khi đó AB trùng với AD). Tính thể tích V của khối nón tạo thành

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình $2^x=9-m^2$  có nghiệm?