Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f1=1,∫01f'x2dx=9 và ∫01x3fxdx=12 . Tính tích phân∫01fxdx bằng A. 23. B. 52. C. 74. D. 65.

Đáp án B Ta có ∫01f'x2dx=9 1 Xét∫01x3fxdx=12. Đặt u=fxdv=x3dx⇒du=f'xdxv=x44 ⇒12∫01x3fxdx=x44fx01−14∫01x4f'xdx=14−14∫01x4f'xdx ⇒∫01x4f'xdx=−1⇒18∫01x4f'xdx=−18 2 Lại có ∫01x8dx=x9901=19⇒81∫01x8dx=9 3 Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được ∫01f'x2+18x4f'x+81x8dx=0⇔∫01f'x+9x42dx=0⇔π.∫01f'x+9x42dx=0 Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f'x+9x4, trục hoành Ox, các đường thẳng x=0,x=1 khi quay quanh Ox bằng 0, suy ra: f'x+9x4=0⇔f'x=−9x4⇒fx=∫f'xdx=−95x4+C Lại do f1=1⇒C=145⇒fx=−95x5=145 ⇒∫01fxdx=∫01−95x5+144dx=−310x6+145x01=52

Câu hỏi:

23/04/2022 573

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $f (1) = 1, \int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x = 9$ và $\int_{0}^{1} x^{3} f (x) d x = \frac{1}{2}$ . Tính tích phân $\int_{0}^{1} f (x) d x$ bằng

A. $\frac{2}{3} .$

B. $\frac{5}{2} .$

C. $\frac{7}{4} .$

D. $\frac{6}{5} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 25 đề thi thử Toán THPT Quốc gia có lời giải chi tiết !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án B

Ta có $\int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x = 9 (1)$

Xét $\int_{0}^{1} x^{3} f (x) d x = \frac{1}{2}$ . Đặt $\{\begin{cases} u = f (x) \\ d v = x^{3} d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = f' (x) d x \\ v = \frac{x^{4}}{4} \end{cases}$

$\Rightarrow \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x^{3} f (x) d x = {(\frac{x^{4}}{4} f (x))|}_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{0}^{1} x^{4} f' (x) d x = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} \int_{0}^{1} x^{4} f' (x) d x$

$\Rightarrow \int_{0}^{1} x^{4} f' (x) d x = - 1 \Rightarrow 18 \int_{0}^{1} x^{4} f' (x) d x = - 18 (2)$

Lại có $\int_{0}^{1} x^{8} d x = {\frac{x^{9}}{9}|}_{0}^{1} = \frac{1}{9} \Rightarrow 81 \int_{0}^{1} x^{8} d x = 9 (3)$

Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được

$\int_{0}^{1} [{[f' (x)]}^{2} + 18 x^{4} f' (x) + 81 x^{8}] d x = 0 \Leftrightarrow \int_{0}^{1} {[f' (x) + 9 x^{4}]}^{2} d x = 0 \Leftrightarrow π . \int_{0}^{1} {[f' (x) + 9 x^{4}]}^{2} d x = 0$

Hay thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f' (x) + 9 x^{4}$ , trục hoành Ox, các đường thẳng $x = 0, x = 1$ khi quay quanh Ox bằng 0, suy ra:

$f' (x) + 9 x^{4} = 0 \Leftrightarrow f' (x) = - 9 x^{4} \Rightarrow f (x) = \int f' (x) d x = - \frac{9}{5} x^{4} + C$

Lại do $f (1) = 1 \Rightarrow C = \frac{14}{5} \Rightarrow f (x) = - \frac{9}{5} x^{5} = \frac{14}{5}$

$\Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} (- \frac{9}{5} x^{5} + \frac{14}{4}) d x = {(- \frac{3}{10} x^{6} + \frac{14}{5} x)|}_{0}^{1} = \frac{5}{2}$

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = x \sqrt{x}$

A. $\int x \sqrt{x} d x = \frac{2}{5} x^{2} \sqrt{x} + C .$

B. $\int x \sqrt{x} d x = \frac{2}{5} x \sqrt{x} + C .$

C. $\int x \sqrt{x} d x = \frac{1}{2} x^{2} \sqrt{x} + C .$

D. $\int x \sqrt{x} d x = \frac{3}{2} \sqrt{x} + C .$

Lời giải

: Đáp án A

\int x \sqrt{x} d x = \int x^{\frac{3}{2}} d x = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5} x^{2} \sqrt{x} + C

Câu 2

Cho tập hợp A={0;1;2;3;4;5;6}. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lấy ra từ tập A sao cho phải có mặt đúng 3 chữ số lẻ và chúng không đứng liền nhau?

A. 728 số.

B. 648 số.

C. 468 số.

D. 180 số.

Lời giải

Cho tập hợp A={0;1;2;3;4;5;6}. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lấy ra (ảnh 1)

Cho tập hợp A={0;1;2;3;4;5;6}. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lấy ra (ảnh 2)

Cho tập hợp A={0;1;2;3;4;5;6}. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lấy ra (ảnh 3)

Câu 3

Cho hàm số $y = \frac{(m + 1) x + 2 m + 2}{x + m}$ . Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên $(- 1; + \infty) ?$

A. m > 1

B. $1 \leq m < 2.$

C. $[\begin{array}{l} m < 1 \\ m > 2 \end{array} .$

D. $m > 2.$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho số phức $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ thỏa mãn $|\bar{z} + 2 - 3 i| \leq |z - 2 + i| \leq 5$ . Gọi m, M lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^{2} + y^{2} + 8 x + 6 y$ . Giá trị m + M bằng

A. $60 - 20 \sqrt{10} .$

B. $44 - 20 \sqrt{10} .$

C. $\frac{9}{5} .$

D. $52 - 20 \sqrt{10} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y =f(x) . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y = |f (x + 1) + m|$ có 5 điểm cực trị?

A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M (2; 1; 1)$ . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác gốc O sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất là

A. $2 x - y + 2 z - 3 = 0.$

B. $4 x - y - z - 6 = 0.$

C. $2 x + y + 2 z - 6 = 0.$

D. $x + 2 y + 2 z - 6 = 0.$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm $I (- 1; 2; 5)$ và đi qua điểm $A (1; 0; 1)$ . Xét các điểm B, C, D thuộc mặt cầu (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng

A. $\frac{32 \sqrt{3}}{9} .$

B. $\frac{64 \sqrt{6}}{3} .$

C. $\frac{63 \sqrt{2}}{3} .$

D. $\frac{128 \sqrt{6}}{3} .$

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Toán

Toán

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Toán

Toán

Toán

Tiếng Việt

Tiếng Anh

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn f1=1,∫01f'x2dx=9 và ∫01x3fxdx=12 . Tính tích phân∫01fxdx bằng

Tìm nguyên hàm của hàm số fx=xx

Cho tập hợp A={0;1;2;3;4;5;6}. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lấy ra từ tập A sao cho phải có mặt đúng 3 chữ số lẻ và chúng không đứng liền nhau?

Cho hàm số y=m+1x+2m+2x+m . Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên −1;+∞?

Cho số phức z=x+yix,y∈ℝ thỏa mãn z¯+2−3i≤z−2+i≤5 . Gọi m, M lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x2+y2+8x+6y . Giá trị m + M bằng

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y =f(x) . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y=fx+1+m có 5 điểm cực trị?

Trong không gian Oxyz, cho điểm M2;1;1 . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác gốc O sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất là

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I−1;2;5 và đi qua điểm A1;0;1 . Xét các điểm B, C, D thuộc mặt cầu (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Cho hàm số $f (x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $f (1) = 1, \int_{0}^{1} {[f' (x)]}^{2} d x = 9$ và $\int_{0}^{1} x^{3} f (x) d x = \frac{1}{2}$ . Tính tích phân $\int_{0}^{1} f (x) d x$ bằng

Tìm nguyên hàm của hàm số $f (x) = x \sqrt{x}$

Cho hàm số $y = \frac{(m + 1) x + 2 m + 2}{x + m}$ . Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên $(- 1; + \infty) ?$

Cho số phức $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ thỏa mãn $|\bar{z} + 2 - 3 i| \leq |z - 2 + i| \leq 5$ . Gọi m, M lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = x^{2} + y^{2} + 8 x + 6 y$ . Giá trị m + M bằng

Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số y =f(x) . Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số $y = |f (x + 1) + m|$ có 5 điểm cực trị?

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M (2; 1; 1)$ . Phương trình mặt phẳng (P) đi qua M và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C khác gốc O sao cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ nhất là

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm $I (- 1; 2; 5)$ và đi qua điểm $A (1; 0; 1)$ . Xét các điểm B, C, D thuộc mặt cầu (S) sao cho AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau. Thể tích của khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng