Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục, có đạo hàm cấp hai trên $ℝ$  và có đồ thị (C) như hình vẽ. Biết $\Delta$  là tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x=0.$  Tính tích phân $I=\underset{0}{\overset{1}{\int }}x{f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x^2\right)dx.$

Từ bảng biến thiên của hàm số $y=f\left(x\right),$  ta suy ra bảng biến thiên của hàm số $y=\left|f\left(x\right)\right|$  như sau:

Vì bài toán quan tâm tới việc sắp thứ tự các nghiệm với giá trị x = 1 do đó ta cần tính được giá trị của hàm số tại x = 1. Nhưng ta nhận thấy M(0;6) và N(2;0) là hai điểm cực trị của hàm số. Khi đó, trung điểm I(1;3) của MN cũng thuộc đồ thị hàm số hay $f\left(1\right)=3$  nên ta có bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên này, suy ra phương trình $\left|f\left(x\right)\right|=m$  có bốn nghiệm $x_1,x_2,x_3,x_4$  thỏa mãn $x_1<x_2<x_3<1<x_4$  khi và chỉ khi $3<m<6.$

Chọn ra 3 cuốn sách từ 10 cuốn (không quan tâm tới thứ tự) nên số cách chọn là: $C_{10}^3.$