Gọi S là tập hợp các số có ba chữ số có dạng $\overline{abc}.$   Tính xác suất để rút ngẫu nhiên 1 số từ tập S thỏa mãn a, b, c là ba cạnh của một tam giác cân, đồng thời là tam giác nhọn

Số các số có ba chữ số là: $n\left(\Omega \right)=\mathrm{9.10.10}=900.$

Gọi A là biến cố rút 1 số từ tập S thỏa mãn a, b, c là ba cạnh của một tam giác vừa cân, vừa nhọn.

Do tam giác cân, nên ta gọi ba cạnh của tam giác lần lượt là: a;b;c với a=c.

Gọi $\alpha$  là góc ở đỉnh cân (hình vẽ).

Khi đó tam giác nhọn  $\iff cos\alpha =\frac{2a^2-b^2}{2a^2}>0\iff 2a^2>b^2.$

Vậy điều kiện để tam giác cân đồng thời nhọn là:$\left\{\begin{array}{l}2a>b\\ 2a^2>b^2\end{array}\right.\iff 2a^2>b^2.$

+) Với $a=1\Rightarrow b=1\Rightarrow \Delta$  đều được lấy ra từ số 111, nghĩa là có 1 cách.

+) Với $a=2\Rightarrow b\in \left\{1;2\right\}\Rightarrow$  số khả năng $1+3=4$  (cách) (gồm 1 tam giác đều, 3 tam giác cân không đều).

+) Với $a=3\Rightarrow b\in \left\{1;2;3;4\right\}\Rightarrow$  số khả năng $1+3.3=10$  (cách)

+) Với $a=4\Rightarrow b\in \left\{1;2;3;4;5\right\}\Rightarrow$  số khả năng  $1+4.3=13$ (cách)

+) Với $a=5\Rightarrow b\in \left\{1;2;3;4;5;6;7\right\}\Rightarrow$  số khả năng $1+6.3=19$  (cách)

+) Với $a=6\Rightarrow b\in \left\{1;2;3;4;5;6;7;8\right\}\Rightarrow$  số khả năng $1+7.3=22$  (cách)

+) Với $a\in \left\{7;8;9\right\}\Rightarrow b\in \left\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\right\}\Rightarrow$  số khả năng $3.\left(1+8.3\right)=75$  (cách)

Suy ra $n\left(A\right)=1+4+10+13+19+22+75=144.$

Vậy xác suất cần tính là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{144}{900}=\frac{4}{25}.$