Có bao nhiêu giá trị nguyên $m\in \left[-10;10\right]$  để phương trình ${2018}^{\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-\frac{m}{2}}.{\log }_{2019}\left(\sin 2x-m+12\right)={\log }_{2019}\left(\sqrt{3}\cos 2x+12\right)$ có 4 nghiệm thuộc $\left[\frac{\pi }{6};\frac{5\pi }{3}\right]?$

Từ bảng biến thiên của hàm số $y=f\left(x\right),$  ta suy ra bảng biến thiên của hàm số $y=\left|f\left(x\right)\right|$  như sau:

Vì bài toán quan tâm tới việc sắp thứ tự các nghiệm với giá trị x = 1 do đó ta cần tính được giá trị của hàm số tại x = 1. Nhưng ta nhận thấy M(0;6) và N(2;0) là hai điểm cực trị của hàm số. Khi đó, trung điểm I(1;3) của MN cũng thuộc đồ thị hàm số hay $f\left(1\right)=3$  nên ta có bảng biến thiên sau:

Dựa vào bảng biến thiên này, suy ra phương trình $\left|f\left(x\right)\right|=m$  có bốn nghiệm $x_1,x_2,x_3,x_4$  thỏa mãn $x_1<x_2<x_3<1<x_4$  khi và chỉ khi $3<m<6.$

Chọn ra 3 cuốn sách từ 10 cuốn (không quan tâm tới thứ tự) nên số cách chọn là: $C_{10}^3.$