Cho hàm số \(y = \frac{{x - \sqrt {{x^2} + 2x} }}{{{x^2} + mx - m - 3}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Giá trị của \(m\) để \(\left( C \right)\) có đúng hai tiệm cận thuộc tập nào sau đây?

Đáp án D.

Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - \sqrt {{x^2} + 2x} }}{{{x^2} + mx - m - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 2x}}{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2x} } \right)\left( {{x^2} + mx - m - 3} \right)}} = 0\)

Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - \sqrt {{x^2} + 2x} }}{{{x^2} + mx - m - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x + x\sqrt {1 + \frac{1}{x}} }}{{{x^2} + mx - m - 3}} = 0\)

Vậy hàm số luôn có một tiệm cận ngang.

Để đồ thị hàm số có đúng hai tiệm cận khi và chỉ khi đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng.

Yêu cầu bài toán tương đương \({x^2} + mx - m - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 0 hoặc \({x^2} + mx - m - 3 = 0\) có một nghiệm duy nhất khác 0.

Trường hợp 1: \({x^2} + mx - m - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng 0.

\( \Leftrightarrow - m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\)

Trường hợp 2: \({x^2} + mx - m - 3 = 0\) có một nghiệm duy nhât khác \(0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne - 3\\\Delta = {m^2} + 4m + 12 = 0\end{array} \right.\)

Trường hợp này không tồn tại \(m.\)

Vậy \(m = - 3 \in \left( { - 5;2} \right).\) Ta chọn đáp án D.