Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|\) trên \(\left[ {1;2} \right]\) bằng 2. Số phần tử của \(S\) là 

Đáp án D.

Đặt \(y = h\left( x \right) = \left| {\frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}} = \frac{{{x^2}}}{{x + 1}} + m,\) ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} >0,\forall x \in \left[ {1;2} \right].\)

Suy ra hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {1;2} \right].\)

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) = \frac{1}{2} + m,\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = \frac{4}{3} + m.\)

Nếu \(\frac{1}{2} + m >0 \Leftrightarrow m >- \frac{1}{2}\) thì \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} h\left( x \right) = m + \frac{4}{3},\) suy ra: \(\frac{4}{3} + m = 2 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}\) (thỏa mãn).

Nếu \(\frac{4}{3} + m < 0 \Leftrightarrow m < - \frac{4}{3}\) thì \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} h\left( x \right) = \left| {m + \frac{1}{2}} \right|,\) suy ra: \(\left| {m + \frac{1}{2}} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{3}{2}\left( l \right)\\m = - \frac{5}{2}\end{array} \right..\)

Nếu \(\frac{1}{2} + m < 0 < \frac{4}{3} + m \Leftrightarrow - \frac{4}{3} < m < - \frac{1}{2}\) thì: \(\left| {m + \frac{1}{2}} \right| \le \left| m \right| + \frac{1}{2} \le \frac{4}{3} + \frac{1}{2} = \frac{{11}}{6} < 2,\) suy ra:

\(\left| {m + \frac{4}{3}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + \frac{4}{3} = 2\\m + \frac{4}{3} = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{2}{3}\\m = - \frac{{10}}{3}\end{array} \right.\) (không thỏa mãn).

Vậy có hai giá trị \(m\) thỏa mãn: \(m = - \frac{5}{2}\) và \(m = \frac{2}{3}.\)