Cho hình chóp \(S.ABC\) có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và hình chiếu \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là điểm \(H\) nằm trong tam giác \(ABC\) sao cho \[\widehat {AHB} = {150^0},\widehat {BHC} = {120^0},\widehat {CHA} = {90^0}.\] Biết tổng diện tích các mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp \(S.HAB,S.HBC,S.HCA\) là \(\frac{{124}}{3}\pi .\) Tính thể tích khối chóp \(S.ABC.\)

Đáp án B.

Gọi \({R_1},{R_2},{R_3}\) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác \(\Delta HAB,\Delta HBC,\Delta HAC\)

Áp dụng định lý sin vào các \(\Delta HAB,\Delta HBC,\Delta HAC\) ta có:

\(AB = 2{R_1}\sin \widehat {AHB} \Rightarrow {R_1} = \frac{{AB}}{{2\sin \widehat {AHB}}} = 2.\)

\(BC = 2{R_2}\sin \widehat {BHC} \Rightarrow {R_2} = \frac{{BC}}{{2\sin \widehat {BHC}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}.\)

\(AC = 2{R_3}\sin \widehat {CHA} \Rightarrow {R_1} = \frac{{AC}}{{2\sin \widehat {CHA}}} = 1.\)

Gọi \({r_1},{r_2},{r_3}\) lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện \(S.HAB,S.HBC,S.HAC.\)

Nhận xét: Trong hình chóp \(S.HAB\) với \(SH \bot \left( {HAB} \right)\) ta có \(r_1^2 = R_1^2 + {\left( {\frac{{SH}}{2}} \right)^2}.\)

Khi đó \(r_1^2 = R_1^2 + {\left( {\frac{{SH}}{2}} \right)^2};r_2^2 = R_2^2 + {\left( {\frac{{SH}}{2}} \right)^2};r_3^2 = R_3^2 + {\left( {\frac{{SH}}{2}} \right)^2}\).

Suy ra \(r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = R_1^2 + R_2^2 + R_3^2 + \frac{{3.S{H^2}}}{4}.\)

Do tổng diện tích các mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp \(S.HAB,S.HBC,S.HCA\) là \(\frac{{124}}{3}\pi \)

Ta có: \(4\pi \left( {r_1^2 + r_2^2 + r_3^2} \right) = \frac{{124}}{3}\pi \Leftrightarrow r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = \frac{{31}}{3}.\)

Khi đó: \(\frac{{31}}{3} = R_1^2 + R_2^2 + R_3^2 + \frac{{3.S{H^2}}}{4} \Leftrightarrow S{H^2} = \frac{4}{3}\left( {\frac{{31}}{3} - R_1^2 + R_2^2 + R_3^2} \right) = \frac{{16}}{3} \Rightarrow SH = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}.\)

Vậy thể tích khối chóp \(S.ABC\) là \(V = \frac{1}{3}.{S_{\Delta ABC}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{{4\sqrt 3 }}{3}.\frac{{{2^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{4}{3}\) (đvtt).