Cho phương trình: \({\sin ^3}x + 2\sin x + 3 = \left( {2{{\cos }^3}x + m} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m - 2} + 2{\cos ^3}x + {\cos ^2}x + m.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình trên có đúng một nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right)?\) 

Đáp án A.

\({\sin ^2}x + 2\sin x + 3 = \left( {2{{\cos }^3}x + m} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m - 2} + 2{\cos ^3}x + {\cos ^2}x + m\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^3}x + 2\sin x + 1 - {\cos ^2}x + 2 = \left( {2{{\cos }^3}x + m} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m - 2} + 2{\cos ^3}x + m\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^3}x + 2\sin x + {\sin ^2}x + 2 = \left( {2{{\cos }^3}x + m} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m - 2} + 2{\cos ^3}x + m\)

Đặt \(u = \sqrt {2{{\cos }^3} + m - 2} \Rightarrow {u^2} = 2{\cos ^3}x + m - 2\)

Phương trình trở thành:

\({\sin ^3}x + 2\sin x + {\sin ^2}x + 2 = \left( {{u^2} + 2} \right)u + {u^2} + 2\)

\({\sin ^3}x + 2\sin x + {\sin ^2}x + 2 = {u^3} + {u^2} + 2u + 2\left( 1 \right)\)

Xét hàm đặc trưng: \(f\left( t \right) = {t^3} + {t^2} + 2t + 2\)

\(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 2t + 2 >0,\forall t \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( t \right)\) là hàm đồng biến

Phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {\sin x} \right) = f\left( u \right) \Leftrightarrow u = \sin x\)

Với \(u = \sin x\) ta có \(\sqrt {2{{\cos }^3}x + m - 2} = \sin x \Leftrightarrow 2{\cos ^3}x + m - 2 = {\sin ^2}x\)

\( \Leftrightarrow - m = 2{\cos ^3}x + {\cos ^2}x - 1\)

Đặt \(X = \cos x\) phương trình trở thành \( - m = 2{X^3} + {X^2} - 1\left( 2 \right)\)

Với \(x \in \left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right) \Rightarrow X \in \left( { - \frac{1}{2};1} \right].\)

Ứng với mỗi \(X \in \left( { - \frac{1}{2};1} \right]\) thì có duy nhất một giá trị của \(x \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) do đó phương trình ban đầu có đúng một nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) thì phương trình (2) có duy nhất một nghiệm thuộc \(X \in \left( { - \frac{1}{2};1} \right]\)

Xét hàm \(g\left( X \right) = 2{X^3} + {X^2} - 1\)

\(g'\left( X \right) = 6{X^2} + 2X;g'\left( X \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 0\\X = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có phương trình (2) có duy nhất một nghiệm thuộc \(X \in \left( { - \frac{1}{2};1} \right]\) khi và chỉ khi \(\left[ \begin{array}{l}m = - 3\\ - \frac{{80}}{{27}} < m \le 0\end{array} \right.\)

Mà \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0} \right\}\) do vậy có 4 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán.