Câu hỏi:
05/05/2022 1,160Cho phương trình: \({\sin ^3}x + 2\sin x + 3 = \left( {2{{\cos }^3}x + m} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m - 2} + 2{\cos ^3}x + {\cos ^2}x + m.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình trên có đúng một nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right)?\)
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án A.
\({\sin ^2}x + 2\sin x + 3 = \left( {2{{\cos }^3}x + m} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m - 2} + 2{\cos ^3}x + {\cos ^2}x + m\)
\( \Leftrightarrow {\sin ^3}x + 2\sin x + 1 - {\cos ^2}x + 2 = \left( {2{{\cos }^3}x + m} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m - 2} + 2{\cos ^3}x + m\)
\( \Leftrightarrow {\sin ^3}x + 2\sin x + {\sin ^2}x + 2 = \left( {2{{\cos }^3}x + m} \right)\sqrt {2{{\cos }^3}x + m - 2} + 2{\cos ^3}x + m\)
Đặt \(u = \sqrt {2{{\cos }^3} + m - 2} \Rightarrow {u^2} = 2{\cos ^3}x + m - 2\)
Phương trình trở thành:
\({\sin ^3}x + 2\sin x + {\sin ^2}x + 2 = \left( {{u^2} + 2} \right)u + {u^2} + 2\)
\({\sin ^3}x + 2\sin x + {\sin ^2}x + 2 = {u^3} + {u^2} + 2u + 2\left( 1 \right)\)
Xét hàm đặc trưng: \(f\left( t \right) = {t^3} + {t^2} + 2t + 2\)
\(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 2t + 2 >0,\forall t \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( t \right)\) là hàm đồng biến
Phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {\sin x} \right) = f\left( u \right) \Leftrightarrow u = \sin x\)
Với \(u = \sin x\) ta có \(\sqrt {2{{\cos }^3}x + m - 2} = \sin x \Leftrightarrow 2{\cos ^3}x + m - 2 = {\sin ^2}x\)
\( \Leftrightarrow - m = 2{\cos ^3}x + {\cos ^2}x - 1\)
Đặt \(X = \cos x\) phương trình trở thành \( - m = 2{X^3} + {X^2} - 1\left( 2 \right)\)
Với \(x \in \left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right) \Rightarrow X \in \left( { - \frac{1}{2};1} \right].\)
Ứng với mỗi \(X \in \left( { - \frac{1}{2};1} \right]\) thì có duy nhất một giá trị của \(x \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) do đó phương trình ban đầu có đúng một nghiệm \(x \in \left[ {0;\frac{{2\pi }}{3}} \right)\) thì phương trình (2) có duy nhất một nghiệm thuộc \(X \in \left( { - \frac{1}{2};1} \right]\)
Xét hàm \(g\left( X \right) = 2{X^3} + {X^2} - 1\)
\(g'\left( X \right) = 6{X^2} + 2X;g'\left( X \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 0\\X = - \frac{1}{3}\end{array} \right.\)
Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên ta có phương trình (2) có duy nhất một nghiệm thuộc \(X \in \left( { - \frac{1}{2};1} \right]\) khi và chỉ khi \(\left[ \begin{array}{l}m = - 3\\ - \frac{{80}}{{27}} < m \le 0\end{array} \right.\)
Mà \(m\) nguyên nên \(m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0} \right\}\) do vậy có 4 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 20 đề thi tốt nghiệp môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 38.500₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án A.
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}.\)
*) Nếu \(m = 0\) ta có \(y = 5x.\) Đồ thị hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
*) Nếu \(m \ne 0.\) Ta có: \(y' = m{x^2} - 4mx + 3m + 5.\)
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}.\)
\( \Leftrightarrow m{x^2} - 4mx + 3m + 5 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\a >0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - m\left( {3m + 5} \right) \le 0\\m >0\end{array} \right..\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 5m \le 0\\m >0\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le m \le 5\\m >0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m \le 5\)
Kết hợp với điều kiện ta có: \(0 < m \le 5.\)
Vậy \(0 < m \le 5,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}.\)
Lời giải
Đáp án B.
Ta có \(y = g\left( x \right) = f\left( {\left| {x - 3} \right|} \right) \Rightarrow y' = \frac{{x - 3}}{{\left| {x - 3} \right|}}.f'\left( {\left| {x - 3} \right|} \right).\)
\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {x - 3} \right| = - 1\left( L \right)\\\left| {x - 3} \right| = 1\\\left| {x - 3} \right| = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \vee x = 4\\x = - 1 \vee x = 7\end{array} \right.\) (Hàm số không có đạo hàm tại \(x = 3).\)
BBT
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;2} \right).\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
-
CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 1)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 2)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 19)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
-
45 bài tập Xác suất có lời giải
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận