Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để hàm số \(y = \left( {m + 2} \right){x^3} + 3{x^2} + mx - 6\) có hai điểm cực trị 

Đáp án A.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}.\)

*) Nếu \(m = 0\) ta có \(y = 5x.\) Đồ thị hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)

*) Nếu \(m \ne 0.\) Ta có: \(y' = m{x^2} - 4mx + 3m + 5.\)

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}.\)

\( \Leftrightarrow m{x^2} - 4mx + 3m + 5 \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\a >0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{m^2} - m\left( {3m + 5} \right) \le 0\\m >0\end{array} \right..\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 5m \le 0\\m >0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le m \le 5\\m >0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m \le 5\)

Kết hợp với điều kiện ta có: \(0 < m \le 5.\)

Vậy \(0 < m \le 5,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\}.\)

Đáp án B.

Ta có \(y = g\left( x \right) = f\left( {\left| {x - 3} \right|} \right) \Rightarrow y' = \frac{{x - 3}}{{\left| {x - 3} \right|}}.f'\left( {\left| {x - 3} \right|} \right).\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {x - 3} \right| = - 1\left( L \right)\\\left| {x - 3} \right| = 1\\\left| {x - 3} \right| = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \vee x = 4\\x = - 1 \vee x = 7\end{array} \right.\) (Hàm số không có đạo hàm tại \(x = 3).\)

BBT

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;2} \right).\)