Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \frac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} - \left( {1 - m} \right)x + 2m} }}\) có hai tiệm cận đứng?  

Đáp án A.

ĐK: \(x \ge - 1\) và \({x^2} - \left( {1 - m} \right)x + 2m >0\)

Xét phương trình \(1 + \sqrt {x + 1} = 0\) vô nghiệm.

Xét phương trình \({x^2} - \left( {1 - m} \right)x + 2m = 0\left( * \right).\) Để đồ thị hàm số có hai TCĐ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐK \(x \ge - 1.\)

\( \Leftrightarrow \Delta >0 \Leftrightarrow {\left( {1 - m} \right)^2} - 8m >0 \Leftrightarrow {m^2} - 10m + 1 >0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m >5 + 2\sqrt 6 \\m < 5 - 2\sqrt 6 \end{array} \right..\)

Khi đó gọi hai nghiệm của phương trình là \({x_1} >{x_2}\) ta có:

\({x_1} >{x_2} \ge - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}af\left( { - 1} \right) \ge 0\\\frac{S}{2} >- 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 2 \ge 0\\2 - m >- 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ge - 2\\m < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le m < 4\)

Kết hợp điều kiện ta có: \(m \in \left[ { - 2;5 - 2\sqrt 6 } \right)\mathop \Rightarrow \limits^{m \in \mathbb{Z}} m \in \left\{ { - 2; - 1;0} \right\}.\)

Thử lại:

Với \(m = - 2 \Rightarrow {x^2} - 3x - 4 >0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x >4\\x < - 1\end{array} \right. \Rightarrow TXD:D = \left( {4; + \infty } \right)\)

Khi đó hàm số có dạng \(y = \frac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} - 3x - 4} }}\) có 1 tiệm cận đứng \(x = 4 \Rightarrow \) Loại.

Với \(m = - 1 \Rightarrow {x^2} - 2x - 2 >0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x >1 + \sqrt 3 \\x < 1 - \sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow TXD:D = \left[ { - 1;1 - \sqrt 3 } \right) \cup \left( {1 + \sqrt 3 ; + \infty } \right)\)

Khi đó hàm số có dạng \(y = \frac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} - 2x - 2} }}\) có 2 tiệm cận đứng \(x = 1 \pm \sqrt 3 \Rightarrow TM.\)

Khi \(m = 0 \Rightarrow {x^2} - x >0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x >1\\x < 0\end{array} \right. \Rightarrow TXD:D = \left[ { - 1;1} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\)

Khi đó hàm số có dạng \(y = \frac{{1 + \sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {{x^2} - x} }}\) có 2 tiệm cận đứng \(x = 0;x = 1 \Rightarrow TM.\)

Vậy \(m \in \left\{ { - 1;0} \right\}.\)