Cho hàm số \(y = {x^3} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {5m + 1} \right)x - 2m - 2\) có đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) với \(m\) là tham số. Tập \(S\) là tập các giá trị nguyên của \(m\left( {m \in \left( { - 2021;2021} \right)} \right)\) để \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt \(A\left( {2;0} \right);B,C\) sao cho trong hai điểm \(B,C\) có một điểm nằm trong và một điểm nằm ngoài đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} = 1.\) Tính số phần tử của \(S?\)

Đáp án D.

* Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và \(Ox:{x^3} - 2\left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {5m + 1} \right)x - 2m - 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\{x^2} - 2mx + m + 1 = 0\left( * \right)\end{array} \right.\)

* Để đồ thị cắt \(Ox\) tại 3 điểm phân biệt \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác 2

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {m^2} - m - 1 >0\\5 - 3m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m >\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\\m < \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\\m \ne \frac{5}{3}\end{array} \right.{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

* Gọi \(B\left( {{x_1};0} \right),C\left( {{x_2};0} \right)\), trong đó \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của \(\left( * \right).\)

\(B,C\) có một điểm nằm trong và một điểm nằm ngoài đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} = 1\)

\( \Leftrightarrow \left( {x_1^2 - 1} \right)\left( {x_2^2 - 1} \right) < 0 \Leftrightarrow {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^2} - {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 2{x_1}{x_2} + 1 < 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} - 4{m^2} + 2m + 3 < 0 \Leftrightarrow - 3{m^2} + 4m + 4 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m >2\\m < - \frac{2}{3}\end{array} \right.\left( 2 \right)\)

Kết hợp (1), (2) suy ra \(\left[ \begin{array}{l}m >2\\m < - \frac{2}{3}\end{array} \right.\)

Mà \(m \in \left( { - 2021;2021} \right) \cap \mathbb{Z}\) suy ra \(m \in \left\{ { - 2020; - 2019;...; - 1;3;...2020} \right\}.\)