Cho hàm số bậc ba y = f(x) có đồ thị của hàm số f'(x) như hình vẽ và f(b) = 1. Số giá trị nguyên của $m\in \left[-5;5\right]$ để hàm số $g\left(x\right)=\left|f^2\left(x\right)+4f\left(x\right)+m\right|$ có đúng 5 điểm cực trị là:

Lập bảng biến thiên của hàm số y = f(x) và y = g(x).

Cách giải:

Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng biến thiên của y = f(x) như sau:

Đặt $h\left(x\right)=f^2\left(x\right)+4f\left(x\right)$ ta có: $h\text{'}\left(x\right)=2f\text{'}\left(x\right).f\left(x\right)+4f\text{'}\left(x\right)$

$h\text{'}\left(x\right)=0\iff 2f\text{'}\left(x\right)\left[f\left(x\right)+2\right]=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=0\Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=a\\ x=b\end{array}\right.\\ f\left(x\right)=-2\Rightarrow x=c<a\end{array}\right.$

$\Rightarrow$ Hàm số y = h(x) có 3 điểm cực trị $\Rightarrow$ Hàm số y = h(x) + m cũng có 3 điểm cực trị.

Vì số điểm cực trị của hàm số $g\left(x\right)=\left|h\left(x\right)+m\right|$ bằng tổng số điểm cực trị của hàm số y = h(x) + m và số giao điểm của đồ thị hàm số y = h(x) + m với trục hoành (không tính tiếp xúc).

Nên để hàm số $g\left(x\right)=\left|h\left(x\right)+m\right|$ có 5 điểm cực trị thì phương trình h(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt (không tính nghiệm kép).

Bảng biến thiên hàm số h(x) như sau:

$h\left(b\right)=g^2\left(b\right)+4f\left(b\right)=1+4=5,h\left(c\right)=f^2\left(c\right)+4f\left(c\right),$ với $h\left(c\right)<1\Rightarrow h\left(c\right)\ge -4.$

Nếu h(c) > 5 thì phương trình h(x) = -m có 2 nghiệm phân biệt (không tính nghiệm kép)

$\iff 5<-m<h\left(c\right)\iff m<-5$ (không thỏa mãn $m\in \left[-5;5\right]$).

Nếu $h\left(c\right)\le 5$ thì phương trình h(x) = -m có 2 nghiệm phân biệt (không tính nghiệm kép)

$\iff h\left(c\right)<-m\le 5\iff -5\le m\le -h\left(c\right)\le 4$ (thỏa mãn $m\in \left[-5;5\right]$).

Mà $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4\right\}.$

Vậy có 10 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn A.