Cho hàm số \[y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}\] (\[m\] là tham số thực) thoả mãn \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y + \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = \frac{9}{2}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Điều kiện xác định: \(x + 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne - 1.\)

TH1: \(m = 1\) thì \(y = 1\) (loại).

TH2: \(m \ne 1\) thì hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x + 1}}\) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right).\)

Mà \(\left[ {1;2} \right] \subset \left( { - 1; + \infty } \right)\) nên \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y + \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} y = \frac{9}{2} \Leftrightarrow y\left( 1 \right) + y\left( 2 \right) = \frac{9}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{1 + m}}{{1 + 1}} + \frac{{2 + m}}{{2 + 1}} = \frac{9}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{1 + m}}{2} + \frac{{2 + m}}{3} = \frac{9}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\left( {1 + m} \right) + 2\left( {2 + m} \right) = 2.9\\ \Leftrightarrow 5m + 7 = 27\\ \Leftrightarrow m = 4.\end{array}\)

Đáp án D