Câu hỏi:
11/05/2022 6,366Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên. Tính tổng các giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( { - 10\,;\,10} \right)\) để hàm số \(y = f\left( {3x - 1} \right) + {x^3} - 3mx\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2\,;\,1} \right)\)?
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Cách 1: Ta có: \(y' = 3f'\left( {3x - 1} \right) + 3{x^2} - 3m = 3\left( {f'\left( {3x - 1} \right) + {x^2} - m} \right)\)
Để hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2;1} \right)\) thì:
\(y' \ge 0,\forall x \in \left( { - 2;1} \right) \Leftrightarrow \left( {f'\left( {3x - 1} \right) + {x^2} - m} \right) \ge 0,\forall x \in \left( { - 2;1} \right)\)
\(f'\left( {3x - 1} \right) + {x^2} \ge m,\forall x \in \left( { - 2;1} \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left( { - 2;1} \right)} \left( {f'\left( {3x - 1} \right) + {x^2}} \right)\)
Đặt \(f'\left( {3x - 1} \right) = g\left( x \right)\) và \({x^2} = h\left( x \right)\)
Quan sát bảng biến thiên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {3x - 1} \right) \ge - 4 = f'\left( 0 \right),3x - 1 \in \left( { - 7;2} \right)\\h\left( x \right) = {x^2} \ge 0 = h\left( 0 \right),\forall x \in \left( { - 2;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( {3x - 1} \right) \ge - 4 = f'\left( 0 \right),\forall x \in \left( { - 2;1} \right)\\h\left( x \right) = {x^2} \ge 0 = h\left( 0 \right),\forall x \in \left( { - 2;1} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow f'\left( {3x - 1} \right) + h\left( x \right) \ge - 4 + 0 = - 4,x = 0\)
\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( { - 2;1} \right)} \left[ {g\left( x \right) + h\left( x \right)} \right] = - 4,x = 0\)
Do đó: \(\mathop {\min }\limits_{\left( { - 2;1} \right)} \left( {f'\left( {3x - 1} \right) + {x^2}} \right) = - 4\)
Vì \(m \in \left( { - 10;10} \right)\) và \(m \le - 4\) nên tổng các giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài là -39
Cách 2:
Xét hàm số \(y = f\left( {3x - 1} \right) + {x^3} - 3mx\)
Ta có: \(y' = 3f'\left( {3x - 1} \right) + 3{x^2} - 3m = 3\left[ {f'\left( {3x - 1} \right) + {x^2} - m} \right]\)
Để hàm số đồng biến trên \(\left( { - 2;1} \right)\) thì:
\(y' \ge 0,\forall x \in \left( { - 2;1} \right) \Leftrightarrow f'\left( {3x - 1} \right) \ge - {x^2} + m,\forall x \in \left( { - 2;1} \right)\)
Đặt \(g\left( x \right) = f'\left( {3x - 1} \right) \ge - {x^2} + m = h\left( x \right),\forall x \in \left( { - 2;1} \right)\)
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 1 = t\\x = \frac{{t + 1}}{3}\\t \in \left( { - 7;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow f'\left( t \right) \ge h\left( t \right) = - \frac{{{t^2} + 2t + 1}}{9} + m,\forall t \in \left( { - 7;2} \right)\left( * \right)\)
Ta có đồ thị hàm số \(h\left( t \right) = - \frac{{{t^2} + 2t + 1}}{9} + m\) có đỉnh \(I\left( { - 1;m} \right).\)
Vậy \(\left( * \right)\) thỏa mãn khi đồ thị \(h\left( t \right) = - \frac{{{t^2} + 2t + 1}}{9} + m\) nằm dưới đồ thị \(y = f'\left( t \right).\)
Suy ra: \(m \le - 4.\)
Với giả thiết \(m \in \left( { - 10;10} \right),m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left[ { - 9; - 4} \right] \Rightarrow \sum\limits_{m = - 9}^{ - 4} m = - 39.\)
Đáp án B
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết) ( 55.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
- Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025) ( 36.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án C.
Dựa vào xu hướng của đồ thị hàm số ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \Rightarrow a < 0\)
Tại \(x = 0 \Rightarrow y = d < 0\)
\(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d \Rightarrow y' = 3a{x^2} + 2bx + c.\)
Xét thấy 2 điểm cực trị \({x_1} < 0\) và \({x_2} >0.\)</>
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2b}}{{3a}} >0 \Rightarrow b >0\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}} < 0 \Rightarrow c >0\end{array} \right.\)</>
Vậy có 2 giá trị dương trong 4 giá trị \(a,b,c,d.\)
Lời giải
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{m}{2}} \right\}.\)
Ta có \(y' = \frac{{{m^2} - 4}}{{{{\left( { - 2x + m} \right)}^2}}}.\)
Để hàm số nghịch biến trên \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4 < 0\\\frac{m}{2} \notin \left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \left( { - 2;2} \right)\\m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \left( { - 2;1} \right].\)
Suy ra có các số nguyên thỏa mãn là \(\left\{ { - 1;0;1} \right\}.\)
Đáp án C
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
30 Đề thi thử thpt quốc gia môn Toán có lời giải chi tiết mới nhất (Đề số 1)
-
CÂU TRẮC NGHIỆM ĐÚNG SAI
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 1)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 1)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 2)
-
Đề minh họa tốt nghiệp THPT môn Toán có đáp án năm 2025 (Đề 19)
-
(2025 mới) Đề thi ôn tập THPT môn Toán có đáp án (Đề số 2)
-
45 bài tập Xác suất có lời giải
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận