Một khối nón làm bằng chất liệu không thấm nước, có khối lượng riêng lớn hơn khối lượng riêng của nước, có đường kính đáy bằng a và chiều cao 12, được đặt trong và trên đáy của một cái cốc hình trụ bán kính đáy a như hình vẽ, sao cho đáy của khối nón tiếp xúc với đáy của cốc hình trụ. Đổ nước vào cốc hình trụ đến khi mực nước đạt đến độ cao 12 thì lấy khối nón ra. Hãy tính độ cao của nước trong cốc sau khi đã lấy khối nón ra.

Đáp án B

TXĐ:$D=ℝ\backslash \left\{0;2\right\}$ .

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x^2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x^3}}{1-\frac{2}{x}}=0$ ;

•$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x^2}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}-\frac{3}{x^2}+\frac{2}{x^3}}{1-\frac{2}{x}}=0$ .

Suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y=0.

$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x^2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}{x^2\left(x-2\right)}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x-1}{x^2}=\frac{1}{4}$•

Nên x=2 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x^2}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}{x^2\left(x-2\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-1}{x^2}=-\infty$•

Suy ra đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là x=0.

Vậy tổng số các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là 2 tiệm cận.

Đáp án B

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Giả sử phương trình của parabol là (P): $y=a{x}^2+bx+c$ .

Ta có parabol có đỉnh là (0;3)   và đi qua điểm $\left(\frac{3}{2};0\right)$  nên có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}b=0\\ c=3\\ \frac{9}{4}a+c=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{-4}{3}\\ b=0\\ c=3\end{array}\right.\Rightarrow \left(P\right):y=-\frac{4}{3}{x}^2+3$

Cắt vật thể bởi một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x $\left(-\frac{3}{2}\le x\le \frac{3}{2}\right)$ , ta thấy thiết diện thu được là một hình chữ nhật có chiều rộng $-\frac{4}{3}{x}^2+3$ bằng  mét và chiều dài bằng 6 mét.

Diện tích thiết diện thu được là $6\left(-\frac{4}{3}{x}^2+3\right)=-8x^2+18$ .

Vậy thể tích phần không gian bên trong trại là $\underset{-\frac{3}{2}}{\overset{\frac{3}{2}}{\int }}\left(-8x^2+18\right)dx=36\left(m^3\right)$ .