Câu hỏi:

12/05/2022 250

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại $B, A B = a, ∠ S A B = ∠ S C B = 90^{0},$ cạnh bên SA tạo với mặt phẳng đáy góc $60^{0} .$ Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

A. $S = 5 π a^{2}$

B. $S = 3 π a^{2}$

C. $S = \frac{5}{4} π a^{2}$

D. $S = \frac{5}{3} π a^{2}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Phương pháp:

- Gọi I là trung điểm SB. Chứng minh I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.

- Xác định góc giữa SA và (ABC).

- Đặt SB = x (x > a) tính SA, SM, SH theo x.

- Tính $S_{Δ S B M} = \sqrt{p (p - S B) (p - B M) (p - S M)}$ với p là nửa chu vi tam giác SBM.

- Giải phương trình $\sqrt{p (p - S B) (p - B M) (p - S M)} = \frac{1}{2} S H . B M$ tìm x theo a và suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

- Diện tích mặt cầu bán kính R là $S = 4 π R^{2} .$

Cách giải:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB = a (ảnh 1)

Gọi I là trung điểm của SB.

Vì $∠ S A B = ∠ S C B = 90^{0}$ nên $I A = I C = \frac{1}{2} S B = I S = I B \Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.

Gọi M là trung điểm của AC ta có $Δ A B C$ vuông cân tại $B \Rightarrow B M ⊥ A C$ .

Lại có $Δ S A B = Δ S C B$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) $\Rightarrow S A = S C .$

$\Rightarrow Δ S A C$ vuông tại $S \Rightarrow S M ⊥ A C$ ,

$\Rightarrow A C ⊥ (S M B)$ .

Trong (SBM) kẻ $S H ⊥ B M$ ta có: $\{\begin{cases} S H ⊥ B M \\ S H ⊥ A C \end{cases} \Rightarrow S H ⊥ (A B C) .$

$\Rightarrow H A$ là hình chiếu vuông góc của SA lên $(A B C) \Rightarrow ∠ (S A; (A B C)) = ∠ (S A; H A) = ∠ S A H = 60^{0},$

Đặt SB = x (x > a) ta có $S A = \sqrt{S B^{2} - A B^{2}} = \sqrt{x^{2} - a^{2}} .$

Vì $Δ A B C$ vuông cân tại B có AB = a nên $A C = a \sqrt{2}, B M = \frac{a \sqrt{2}}{2} .$

$\Rightarrow S M = \sqrt{S A^{2} - A M^{2}} = \sqrt{x^{2} - a^{2} - \frac{a^{2}}{2}} = \sqrt{x^{2} - \frac{3 a^{2}}{2}} .$

Gọi p là nửa chu vi tam giác SBM ta có $p = \frac{S B + B M + S M}{2} = \frac{x + \frac{a \sqrt{2}}{2} + \sqrt{x^{2} - \frac{3 a^{2}}{2}}}{2} .$

Xét tam giác vuông SAH ta có $S H = S A . \sin 60^{0} = \sqrt{x^{2} - a^{2}} . \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow S_{Δ S B M} = \sqrt{p (p - S B) (p - B M) (p - S M)} = \frac{1}{2} S H . B M$

$\Rightarrow \sqrt{p (p - S B) (p - B M) (p - S M)} = \frac{1}{2} . \sqrt{x^{2} - a^{2}} . \frac{\sqrt{3}}{2} . \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$\Leftrightarrow 8 \sqrt{p (p - S B) (p - B M) (p - S M)} = \sqrt{6} . \sqrt{x^{2} - a^{2}}$

$\Leftrightarrow 64 p (p - S B) (p - B M) (p - S M) = 6 (x^{2} - a^{2})$

$\Leftrightarrow x = a \sqrt{5}$

$\Rightarrow$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là $R = \frac{1}{2} S B = \frac{a \sqrt{5}}{2} .$

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S = 4 π R^{2} = 4 π . {(\frac{\sqrt{5}}{2} a)}^{2} = 5 π a^{2} .$

Chọn A.

Bình luận

Câu 1:

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng không có cùng tính chẵn lẻ bằng:

A. $\frac{4}{9}$

B. $\frac{5}{9}$

C. $\frac{3}{5}$

D. $\frac{2}{5}$

Xem đáp án » 12/05/2022 17,417

Câu 2:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = 2$ và $u_{2} = 6.$ Công bội của cấp số nhân đã cho bằng:

A. 4

B. 3

C. 8

D. 12

Xem đáp án » 12/05/2022 8,200

Câu 3:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\ln (2 x + 1) \geq 1 + \ln (x - 1)$ là:

A. 5

B. Vô số

C. 6

D. 4

Xem đáp án » 09/05/2022 7,484

Câu 4:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ có phương trình là:

A. ${(x + 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 6$

B. ${(x + 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 36$

C. ${(x - 4)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 36$

D. ${(x - 4)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 6$

Xem đáp án » 09/05/2022 5,086

Câu 5:

Cho đường thẳng y = 2x và parabol $y = x^{2} + c$ (c là tham số thực dương). Gọi $S_{1}$ và $S_{2}$ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi $S_{1} = S_{2}$ thì c gần với số nào nhất sau đây?

A. 3

B. 2

C. 0

D. 1

Xem đáp án » 12/05/2022 3,630

Câu 6:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-10; 10] để hàm số $y = \frac{2021^{- x} + 2}{2021^{- x} + m}$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty) ?$

A. 11

B. 3

C. 13

D. 2

Xem đáp án » 12/05/2022 3,130

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 6 z - 2 = 0.$ Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu là:

A. $I (2; - 1; 3), R = \sqrt{14} .$

B. $I (- 2; 1; - 3), R = \sqrt{14} .$

C. $I (2; - 1; 3), R = 4.$

D. $I (- 2; 1; - 3), R = 4.$

Xem đáp án » 12/05/2022 3,050

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại $B, A B = a, ∠ S A B = ∠ S C B = 90^{0},$ cạnh bên SA tạo với mặt phẳng đáy góc $60^{0} .$ Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Bình luận

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng không có cùng tính chẵn lẻ bằng:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = 2$ và $u_{2} = 6.$ Công bội của cấp số nhân đã cho bằng:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\ln (2 x + 1) \geq 1 + \ln (x - 1)$ là:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ có phương trình là:

Cho đường thẳng y = 2x và parabol $y = x^{2} + c$ (c là tham số thực dương). Gọi $S_{1}$ và $S_{2}$ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi $S_{1} = S_{2}$ thì c gần với số nào nhất sau đây?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-10; 10] để hàm số $y = \frac{2021^{- x} + 2}{2021^{- x} + m}$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty) ?$

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 6 z - 2 = 0.$ Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu là:

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB=a, ∠SAB=∠SCB=900, cạnh bên SA tạo với mặt phẳng đáy góc 600. Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Bình luận

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng không có cùng tính chẵn lẻ bằng:

Cho cấp số nhân un với u1=2 và u2=6. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình ln2x+1≥1+lnx−1 là:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ có phương trình là:

Cho đường thẳng y = 2x và parabol y=x2+c (c là tham số thực dương). Gọi S1 và S2 lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1=S2 thì c gần với số nào nhất sau đây?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-10; 10] để hàm số y=2021−x+22021−x+m đồng biến trên khoảng 0;+∞?

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2−4x+2y−6z−2=0. Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu là:

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại $B, A B = a, ∠ S A B = ∠ S C B = 90^{0},$ cạnh bên SA tạo với mặt phẳng đáy góc $60^{0} .$ Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = 2$ và $u_{2} = 6.$ Công bội của cấp số nhân đã cho bằng:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\ln (2 x + 1) \geq 1 + \ln (x - 1)$ là:

Cho đường thẳng y = 2x và parabol $y = x^{2} + c$ (c là tham số thực dương). Gọi $S_{1}$ và $S_{2}$ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi $S_{1} = S_{2}$ thì c gần với số nào nhất sau đây?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-10; 10] để hàm số $y = \frac{2021^{- x} + 2}{2021^{- x} + m}$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty) ?$

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 6 z - 2 = 0.$ Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu là: