Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại $B,AB=a,\angle SAB=\angle SCB={90}^0,$ cạnh bên SA tạo với mặt phẳng đáy góc ${60}^0.$ Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. 

Phương pháp:

- Gọi I là trung điểm SB. Chứng minh I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.

- Xác định góc giữa SA và (ABC).

- Đặt SB = x (x > a) tính SA, SM, SH theo x.

- Tính $S_{\Delta SBM}=\sqrt{p\left(p-SB\right)\left(p-BM\right)\left(p-SM\right)}$ với p là nửa chu vi tam giác SBM.

- Giải phương trình $\sqrt{p\left(p-SB\right)\left(p-BM\right)\left(p-SM\right)}=\frac{1}{2}SH.BM$ tìm x theo a và suy ra bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.

- Diện tích mặt cầu bán kính R là $S=4\pi R^2.$

Cách giải:

Gọi I là trung điểm của SB.

Vì $\angle SAB=\angle SCB={90}^0$ nên $IA=IC=\frac{1}{2}SB=IS=IB\Rightarrow I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.

Gọi M là trung điểm của AC ta có $\Delta ABC$ vuông cân tại $B\Rightarrow BM\perp AC$.

Lại có $\Delta SAB=\Delta SCB$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông) $\Rightarrow SA=SC.$

$\Rightarrow \Delta SAC$ vuông tại $S\Rightarrow SM\perp AC$,

$\Rightarrow AC\perp \left(SMB\right)$.

Trong (SBM) kẻ $SH\perp BM$ ta có: $\left\{\begin{array}{l}SH\perp BM\\ SH\perp AC\end{array}\right.\Rightarrow SH\perp \left(ABC\right).$

$\Rightarrow HA$ là hình chiếu vuông góc của SA lên $\left(ABC\right)\Rightarrow \angle \left(SA;\left(ABC\right)\right)=\angle \left(SA;HA\right)=\angle SAH={60}^0,$

Đặt SB = x (x > a) ta có $SA=\sqrt{S{B}^2-A{B}^2}=\sqrt{x^2-a^2}.$

Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại B có AB = a nên $AC=a\sqrt{2},BM=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

$\Rightarrow SM=\sqrt{S{A}^2-A{M}^2}=\sqrt{x^2-a^2-\frac{a^2}{2}}=\sqrt{x^2-\frac{3a^2}{2}}.$

Gọi p là nửa chu vi tam giác SBM ta có $p=\frac{SB+BM+SM}{2}=\frac{x+\frac{a\sqrt{2}}{2}+\sqrt{x^2-\frac{3a^2}{2}}}{2}.$

Xét tam giác vuông SAH ta có $SH=SA.\sin {60}^0=\sqrt{x^2-a^2}.\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow S_{\Delta SBM}=\sqrt{p\left(p-SB\right)\left(p-BM\right)\left(p-SM\right)}=\frac{1}{2}SH.BM$

$\Rightarrow \sqrt{p\left(p-SB\right)\left(p-BM\right)\left(p-SM\right)}=\frac{1}{2}.\sqrt{x^2-a^2}.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$\iff 8\sqrt{p\left(p-SB\right)\left(p-BM\right)\left(p-SM\right)}=\sqrt{6}.\sqrt{x^2-a^2}$

$\iff 64p\left(p-SB\right)\left(p-BM\right)\left(p-SM\right)=6\left(x^2-a^2\right)$

$\iff x=a\sqrt{5}$

$\Rightarrow$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là $R=\frac{1}{2}SB=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$

Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $S=4\pi R^2=4\pi .{\left(\frac{\sqrt{5}}{2}a\right)}^2=5\pi a^2.$

Chọn A.