Cho hàm số f(x) liên tục trên [-1; 1] thỏa mãn fx−1=∫−11x+etftdt. Tích phân I=∫−11exfxdx bằng: A. I=e+3−e2+e−3 B. I=e+3e2−e+3 C. I=e2+3−e2+e−3 D. I=−2ee2−e+3

Ta có: fx−1=∫−11x+etftdt⇔fx−1=x∫−11ftdt+∫−11etftdt * Giả sử ∫−11ftdt=a,∫−11etftdt=b⇒fx−1=xa+b⇔fx=ax+b+1. Thay vào (*) ta có: ax+b=x∫−11at+b+1dt+∫−11etat+b+1dt ⇔ax+b=xat22+bt+t1−1+∫−11etat+b+1dt ⇔ax+b=xa2+b+1−a2+b+1+at+b+1et−11−a∫−11etdt ⇔ax+b=x2b+2+a+b+1e−−a+b+1e−1−ae−e−1 ⇔ax+b=x2b+2+b+1e+2a−b−1e−1 ⇒a=2b+2b=b+1e+2a−b−1e−1⇔a=2b+2b=b+1e+3b+3e−1 ⇔a=2b+2b=e+3eb+e+3e⇔a=2e2e2−e−1b=e+3e1−e−3e=e2+3−e2+e−3 Vậy ∫−11etftdt=∫−11exfxdx=e2+3−e2+e−3=I. Chọn C.

Câu hỏi:

12/05/2022 499

Cho hàm số f(x) liên tục trên [-1; 1] thỏa mãn $f (x) - 1 = \int_{- 1}^{1} (x + e^{t}) f (t) d t .$ Tích phân $I = \int_{- 1}^{1} e^{x} f (x) d x$ bằng:

A. $I = \frac{e + 3}{- e^{2} + e - 3}$

B. $I = \frac{e + 3}{e^{2} - e + 3}$

C. $I = \frac{e^{2} + 3}{- e^{2} + e - 3}$

Đáp án chính xác

D. $I = \frac{- 2 e}{e^{2} - e + 3}$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia năm 2022 có lời giải (30 đề) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

$f (x) - 1 = \int_{- 1}^{1} (x + e^{t}) f (t) d t \Leftrightarrow f (x) - 1 = x \int_{- 1}^{1} f (t) d t + \int_{- 1}^{1} e^{t} f (t) d t (*)$

Giả sử $\int_{- 1}^{1} f (t) d t = a, \int_{- 1}^{1} e^{t} f (t) d t = b \Rightarrow f (x) - 1 = x a + b \Leftrightarrow f (x) = a x + b + 1.$

Thay vào (*) ta có:

$a x + b = x \int_{- 1}^{1} (a t + b + 1) d t + \int_{- 1}^{1} e^{t} (a t + b + 1) d t$

$\Leftrightarrow a x + b = x (\frac{a t^{2}}{2} + b t + t) |\begin{array}{l} 1 \\ - 1 \end{array} + \int_{- 1}^{1} e^{t} (a t + b + 1) d t$

$\Leftrightarrow a x + b = x (\frac{a}{2} + b + 1 - \frac{a}{2} + b + 1) + (a t + b + 1) e^{t} |_{- 1}^{1} - a \int_{- 1}^{1} e^{t} d t$

$\Leftrightarrow a x + b = x (2 b + 2) + (a + b + 1) e - (- a + b + 1) e^{- 1} - a (e - e^{- 1})$

$\Leftrightarrow a x + b = x (2 b + 2) + (b + 1) e + (2 a - b - 1) e^{- 1}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} a = 2 b + 2 \\ b = (b + 1) e + (2 a - b - 1) e^{- 1} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 b + 2 \\ b = (b + 1) e + (3 b + 3) e^{- 1} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \{\begin{cases} a = 2 b + 2 \\ b = (e + \frac{3}{e}) b + e + \frac{3}{e} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{2 e^{2}}{e^{2} - e - 1} \\ b = \frac{e + \frac{3}{e}}{1 - e - \frac{3}{e}} = \frac{e^{2} + 3}{- e^{2} + e - 3} \end{cases}$

Vậy $\int_{- 1}^{1} e^{t} f (t) d t = \int_{- 1}^{1} e^{x} f (x) d x = \frac{e^{2} + 3}{- e^{2} + e - 3} = I .$

Chọn C.

Bình luận

Câu 1:

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng không có cùng tính chẵn lẻ bằng:

A. $\frac{4}{9}$

B. $\frac{5}{9}$

C. $\frac{3}{5}$

D. $\frac{2}{5}$

Xem đáp án » 12/05/2022 13,247

Câu 2:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\ln (2 x + 1) \geq 1 + \ln (x - 1)$ là:

A. 5

B. Vô số

C. 6

D. 4

Xem đáp án » 09/05/2022 5,971

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ có phương trình là:

A. ${(x + 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 6$

B. ${(x + 4)}^{2} + {(y - 4)}^{2} + {(z + 2)}^{2} = 36$

C. ${(x - 4)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 36$

D. ${(x - 4)}^{2} + {(y + 4)}^{2} + {(z - 2)}^{2} = 6$

Xem đáp án » 09/05/2022 4,308

Câu 4:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = 2$ và $u_{2} = 6.$ Công bội của cấp số nhân đã cho bằng:

A. 4

B. 3

C. 8

D. 12

Xem đáp án » 12/05/2022 3,532

Câu 5:

Cho đường thẳng y = 2x và parabol $y = x^{2} + c$ (c là tham số thực dương). Gọi $S_{1}$ và $S_{2}$ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi $S_{1} = S_{2}$ thì c gần với số nào nhất sau đây?

A. 3

B. 2

C. 0

D. 1

Xem đáp án » 12/05/2022 3,053

Câu 6:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-10; 10] để hàm số $y = \frac{2021^{- x} + 2}{2021^{- x} + m}$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty) ?$

A. 11

B. 3

C. 13

D. 2

Xem đáp án » 12/05/2022 2,947

Câu 7:

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 6 z - 2 = 0.$ Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu là:

A. $I (2; - 1; 3), R = \sqrt{14} .$

B. $I (- 2; 1; - 3), R = \sqrt{14} .$

C. $I (2; - 1; 3), R = 4.$

D. $I (- 2; 1; - 3), R = 4.$

Xem đáp án » 12/05/2022 2,499

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho hàm số f(x) liên tục trên [-1; 1] thỏa mãn $f (x) - 1 = \int_{- 1}^{1} (x + e^{t}) f (t) d t .$ Tích phân $I = \int_{- 1}^{1} e^{x} f (x) d x$ bằng:

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng không có cùng tính chẵn lẻ bằng:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\ln (2 x + 1) \geq 1 + \ln (x - 1)$ là:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ có phương trình là:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = 2$ và $u_{2} = 6.$ Công bội của cấp số nhân đã cho bằng:

Cho đường thẳng y = 2x và parabol $y = x^{2} + c$ (c là tham số thực dương). Gọi $S_{1}$ và $S_{2}$ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi $S_{1} = S_{2}$ thì c gần với số nào nhất sau đây?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-10; 10] để hàm số $y = \frac{2021^{- x} + 2}{2021^{- x} + m}$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty) ?$

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 6 z - 2 = 0.$ Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu là:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho hàm số f(x) liên tục trên [-1; 1] thỏa mãn fx−1=∫−11x+etftdt. Tích phân I=∫−11exfxdx bằng:

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc S xác suất để số đó có hai chữ số tận cùng không có cùng tính chẵn lẻ bằng:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình ln2x+1≥1+lnx−1 là:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ có phương trình là:

Cho cấp số nhân un với u1=2 và u2=6. Công bội của cấp số nhân đã cho bằng:

Cho đường thẳng y = 2x và parabol y=x2+c (c là tham số thực dương). Gọi S1 và S2 lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi S1=S2 thì c gần với số nào nhất sau đây?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-10; 10] để hàm số y=2021−x+22021−x+m đồng biến trên khoảng 0;+∞?

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2−4x+2y−6z−2=0. Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu là:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hàm số f(x) liên tục trên [-1; 1] thỏa mãn $f (x) - 1 = \int_{- 1}^{1} (x + e^{t}) f (t) d t .$ Tích phân $I = \int_{- 1}^{1} e^{x} f (x) d x$ bằng:

Số nghiệm nguyên của bất phương trình $\ln (2 x + 1) \geq 1 + \ln (x - 1)$ là:

Cho cấp số nhân $(u_{n})$ với $u_{1} = 2$ và $u_{2} = 6.$ Công bội của cấp số nhân đã cho bằng:

Cho đường thẳng y = 2x và parabol $y = x^{2} + c$ (c là tham số thực dương). Gọi $S_{1}$ và $S_{2}$ lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên. Khi $S_{1} = S_{2}$ thì c gần với số nào nhất sau đây?

Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-10; 10] để hàm số $y = \frac{2021^{- x} + 2}{2021^{- x} + m}$ đồng biến trên khoảng $(0; + \infty) ?$

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4 x + 2 y - 6 z - 2 = 0.$ Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu là: