Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, hình chiếu vuông góc của $A'$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ trùng với trung điểm của cạnh $AB$, góc giữa đường thẳng $A'A$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng ${60^0}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng

Phương pháp giải:

- Xác định góc giữa $A'A$và $\left( {ABC} \right)$ là góc giữa $A'A$ và hình chiếu của $A'A$ lên $\left( {ABC} \right)$.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao của lăng trụ.

- Thể tích khối lăng trụ $V = Bh$ với $B,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} h$ lần lượt là diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ.

Giải chi tiết:

Gọi $H$ là trung điểm của $AB$$\Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)$.

$\Rightarrow AH$ là hình chiếu vuông góc của $A'A$ lên $\left( {ABC} \right)$.

$\Rightarrow \angle \left( {A'A;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'A;AH} \right) = \angle A'AH = {60^0}$.

Xét tam giác vuông $A'AH$ ta có : $A'H = AH\tan \angle A'AH = \frac{{AB}}{2}\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Diện tích đáy ${S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$  (do $\Delta ABC$ đều cạnh $a$).

Vậy thể tích khối lăng trụ là: $V = {S_{ABC}}.A'H = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3{a^3}}}{8}$.