Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {2;3;0} \right),C\left( {0;0;3} \right)\). Tập hợp các điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 23\) là mặt cầu có bán kính bằng:

Phương pháp giải:

- Áp dụng công thức tính khoảng cách hai điểm trong không gian.

- Thay các khoảng cách vào giả thiết rồi đưa phương trình về phương trình mặt cầu.

Giải chi tiết:

Ta có \(A\left( {1;0;0} \right),B\left( {2;3;0} \right),C\left( {0;0;3} \right);M\left( {x;y;z} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{M{A^2} = {{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2} + {z^2}}\\{M{B^2} = {{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 3} \right)}^2} + {z^2}}\\{M{C^2} = {x^2} + {y^2}{{\left( {z - 3} \right)}^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 23\)

\( \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {z^2} + {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 23\)

\( \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - 6x - 6y - 6z = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {x + y + z} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 3\)

\( \Rightarrow R = \sqrt 3 \).