Tìm \(m\) để phương trình sau có nghiệm $\sqrt{x}\mathrm{ }+\sqrt{9-x}\mathrm{ }=\sqrt{-x^2+9x+m}$.

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Bình phương hai vế, đặt ẩn phụ \[t = \sqrt { - {x^2} + 9x} \], tìm điều kiện của \(t\).

- Sử dụng định lí Vi-ét tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(t\) thỏa mãn điều kiện tìm được ở trên.

Giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{9 - x \ge 0}\\{ - {x^2} + 9x + m \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 9}\\{ - {x^2} + 9x + m \ge 0}\end{array}} \right.\)

Ta có $-x^2+9x+m\ge 0\iff \mathrm{ }-x^2+9x\ge \mathrm{ }-m$

$\Rightarrow \mathrm{ }-x^2+9x\ge -m$

Ta có: $\sqrt{x}\mathrm{ }+\sqrt{9-x}\mathrm{ }=\sqrt{-x^2+9x+m}$

$\Rightarrow {(\sqrt{x}\mathrm{ }+\sqrt{9-x})}^2=\mathrm{ }-x^2+9x+m$

$\iff x+9-x+2\sqrt{-x^2+9x}\mathrm{ }=\mathrm{ }-x^2+9x+m$

$\iff 2\sqrt{-x^2+9x}\mathrm{ }+9=\mathrm{ }-x^2+9x+m$

$\iff (-x^2+9x)-2\sqrt{-x^2+9x}\mathrm{ }+m-9=0(*)$

Đặt \(t = \sqrt { - {x^2} + 9x} \)$\Rightarrow 0\le t\le \sqrt{\frac{81}{4}}\Rightarrow 0\le t\le \frac{9}{2}$

Khi đó phương trình (*) trở thành \({t^2} - 2t + m - 9 = 0\) có nghiệm $t\in [0;\frac{9}{2}]$.

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ' \ge 0}\\{0 \le {t_1} + {t_2} \le 9}\\{{t_1}{t_2} \ge 0}\\{\left( {{t_1} - \frac{9}{2}} \right)\left( {{t_2} - \frac{9}{2}} \right) \ge 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - m + 9 \ge 0}\\{0 \le 2 \le 9{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {luon{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} dung} \right)}\\{m - 9 \ge 0}\\{m - 9 - \frac{9}{2}.2 + \frac{{81}}{4} \ge 0}\end{array}} \right.\)$\iff \left\{\begin{array}{l}m\le 10\\ m\ge 9\\ m\ge \mathrm{ }-\frac{9}{4}\end{array}\right.\iff 9\le m\le 10$

Kết hợp điều kiện (1) ta có \(m \in \left[ {9;10} \right]\).