Câu hỏi:
24/05/2022 2,326
Cho khối lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài một cạnh là \(a\). Gọi \(M\) là điểm thuộc cạnh \(BB'\) sao \(BM = 2MB'\), \(K\) là trung điểm \(DD'\). Mặt phẳng \(\left( {CMK} \right)\) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, tính theo \(a\) thể tích \[{V_1}\] của khối đa diện chứa đỉnh \[C'\].
Đáp án chính xác
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Phương pháp giải:
- Xác định thiết diện của hình lập phương cắt bởi \[\left( {CMK} \right)\].
- Phân chia và lắp ghép các khối đa diện.
Giải chi tiết:
Trong \(\left( {BCC'B'} \right)\) kéo dài \(CM\) cắt \(B'C'\) tại \(E\), trong \(\left( {CDD'C'} \right)\) kéo dài \(CK\) cắt \(C'D'\) tại \(F\).
Trong \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) nối \(EF\) cắt \(A'B',{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} A'D'\) lần lượt tại \(G,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} H\).
Khi đó thiết diện của khối lập phương cắt bởi \[\left( {CMK} \right)\] là ngũ giác \[CMGHK\] và \[{V_1} = {V_{C.C'EF}} - {V_{M.B'EG}} - {V_{K.D'HF}}\]
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \[\frac{{EB'}}{{EC'}} = \frac{{B'M}}{{CC'}} = \frac{1}{3}\]
\[ \Rightarrow EB' = \frac{1}{3}EC' \Rightarrow EB' = \frac{1}{2}B'C' = \frac{a}{2}\].
\[\frac{{FD'}}{{FC'}} = \frac{{D'K}}{{CC'}} = \frac{1}{2}\], \[ \Rightarrow D'\] là trung điểm của \[C'F\] nên \(C'F = 2a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} D'F = a\).
\(\frac{{B'G}}{{C'F}} = \frac{{EB'}}{{EC'}} = \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow B'G = \frac{1}{3}C'F = \frac{{2a}}{3}\)\( \Rightarrow A'G = A'B' - B'G = \frac{a}{3}\).
Ta có \(\frac{{EB'}}{{EC'}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{B'C'}}{{EC'}} = \frac{2}{3} \Rightarrow EC' = \frac{{3a}}{2}\).
\(\frac{{HD'}}{{EC'}} = \frac{{FD'}}{{FC'}} = \frac{1}{2} \Rightarrow HD' = \frac{1}{2}EC' = \frac{{3a}}{4}\)\( \Rightarrow A'H = A'D' - HD' = \frac{a}{4}\).
Khi đó ta có:
\({S_{C'EF}} = \frac{1}{2}C'E.C'F = \frac{1}{2}.\frac{{3a}}{2}.2a = \frac{{3{a^2}}}{2}\)\( \Rightarrow {V_{C.C'EF}} = \frac{1}{3}CC'.{S_{C'EE}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{3{a^2}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{2}\)
\({S_{B'EG}} = \frac{1}{2}B'E.B'G = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{{2a}}{3} = \frac{{{a^2}}}{6}\)\( \Rightarrow {V_{M.B'EG}} = \frac{1}{3}MB'.{S_{B'EG}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{3}.\frac{{{a^2}}}{6} = \frac{{{a^3}}}{{54}}\)
\({S_{D'HF}} = \frac{1}{2}D'H.D'F = \frac{1}{2}.\frac{{3a}}{4}.a = \frac{{3{a^2}}}{8}\)\( \Rightarrow {V_{K.D'HF}} = \frac{1}{3}.KD'.{S_{D'HF}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.\frac{{3{a^2}}}{8} = \frac{{{a^3}}}{{16}}\)
Vậy \({V_1} = {V_{C.C'EF}} - {V_{M.B'EG}} - {V_{K.D'HF}} = \frac{{{a^3}}}{2} - \frac{{{a^3}}}{{54}} - \frac{{{a^3}}}{{16}} = \frac{{181{a^3}}}{{432}}\).
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Căn cứ vào Atlat Địa lí Việt Nam trang 15, nhận xét nào sau đây không đúng về dân số phân theo thành thị và nông thôn ở nước ta?
Xem đáp án »
20/05/2022
11,134
Câu 2:
Bà chủ quán trà sữa \(X\) muốn trang trí quán cho đẹp nên quyết định thuê nhân công xây một bức tường bằng gạch với xi măng (như hình vẽ bên dưới), biết hàng dưới cùng có 500 viên, mỗi hàng tiếp theo đều có ít hơn hàng trước 1 viên và hàng trên cùng có 1 viên. Hỏi số gạch cần dùng để hoàn thành bức tường trên là bao nhiêu viên?
Xem đáp án »
19/05/2022
9,815
Câu 3:
Hòa tan hoàn toàn 3,2 gam oxit M2Om trong dung dịch H2SO410% (vừa đủ) thu được dung dịch muối có nồng độ 12,9%. Sau phản ứng đem cô bớt dung dịch và làm lạnh nó thu được 7,868 gam tinh thể muối với hiệu suất kết tinh là 70%. Xác định công thức của tinh thể muối đó.
Xem đáp án »
20/05/2022
6,932
Câu 5:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên bằng a, gọi O là tâm của đáy ABCD. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) bằng ?
Xem đáp án »
13/07/2024
4,673
Câu 6:
Một chất điểm chuyển động với phương trình trong đó , t được tính bằng giây (s) và s được tính bằng mét (m). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3(s) bằng
Một chất điểm chuyển động với phương trình trong đó , t được tính bằng giây (s) và s được tính bằng mét (m). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3(s) bằng
Xem đáp án »
08/05/2022
4,456
về câu hỏi!