Câu hỏi:
13/07/2024 4,129
Xét các số thực không âm \(x\) và \(y\) thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 4x + 2y\) bằng
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: \(\frac{{41}}{8}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp hàm số để giải bài toán.
Giải chi tiết:
Ta có: \(2x + y{.4^{x + y - 1}} \ge 3\)
\( \Leftrightarrow 2x - 3 + y{.4^x}{.4^{y - 1}} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {2x - 3} \right){.4^{ - x}} + y{.4^{y - 1}} \ge 0\)
\( \Leftrightarrow y{.4^{y - 1}} \ge \left( {3 - 2x} \right){.4^{ - x}}\)
\( \Leftrightarrow y{.2^{2y - 2}} \ge \left( {3 - 2x} \right){.2^{ - 2x}}\)
\( \Leftrightarrow {2^3}.y{.2^{2y - 2}} \ge {2^3}.\left( {3 - 2x} \right){.2^{ - 2x}}\)
\( \Leftrightarrow 2y{.2^{2y}} \ge \left( {3 - 2x} \right){.2^{3 - 2x}}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)\)
TH1: Với \(3 - 2x \le 0\)\( \Leftrightarrow x \ge \frac{3}{2}\)
\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) đúng với mọi giá trị \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge \frac{3}{2}}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.\)
\( \Rightarrow P = {x^2} + {y^2} + 4x + 2y \ge \frac{{33}}{4}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)\)
TH2: Với \(3 - 2x > 0\)\( \Leftrightarrow 0 \le x < \frac{3}{2}\)
Xét hàm số: \(f\left( t \right) = t{.2^t}\) với \(t \ge 0\)
\( \Rightarrow f'\left( t \right) = {2^t} + t{.2^t}.\ln 2 > 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \forall t \ge 0\)
\( \Rightarrow f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)
\( \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {2y} \right) \ge f\left( {3 - 2x} \right)\)\( \Leftrightarrow 2y \ge 3 - 2x\)\( \Leftrightarrow y \ge \frac{3}{2} - x\)
\( \Rightarrow P = {x^2} + {y^2} + 4x + 2y\)\( \ge {x^2} + {\left( {\frac{3}{2} - x} \right)^2} + 4x + 3 - 2x\)\( = 2{x^2} - x + \frac{{21}}{4}\)
\( \Rightarrow P = 2{\left( {x - \frac{1}{4}} \right)^2} + \frac{{41}}{8} \ge \frac{{41}}{8}{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 3 \right)\)
Từ (2) và (3) ta được: \(Min{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} P = \frac{{41}}{8}\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{4}}\\{y = \frac{5}{4}}\end{array}} \right..\)
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Căn cứ vào Atlat Địa lí Việt Nam trang 15, nhận xét nào sau đây không đúng về dân số phân theo thành thị và nông thôn ở nước ta?
Xem đáp án »
20/05/2022
11,134
Câu 2:
Bà chủ quán trà sữa \(X\) muốn trang trí quán cho đẹp nên quyết định thuê nhân công xây một bức tường bằng gạch với xi măng (như hình vẽ bên dưới), biết hàng dưới cùng có 500 viên, mỗi hàng tiếp theo đều có ít hơn hàng trước 1 viên và hàng trên cùng có 1 viên. Hỏi số gạch cần dùng để hoàn thành bức tường trên là bao nhiêu viên?
Xem đáp án »
19/05/2022
9,822
Câu 3:
Hòa tan hoàn toàn 3,2 gam oxit M2Om trong dung dịch H2SO410% (vừa đủ) thu được dung dịch muối có nồng độ 12,9%. Sau phản ứng đem cô bớt dung dịch và làm lạnh nó thu được 7,868 gam tinh thể muối với hiệu suất kết tinh là 70%. Xác định công thức của tinh thể muối đó.
Xem đáp án »
20/05/2022
6,932
Câu 5:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy và cạnh bên bằng a, gọi O là tâm của đáy ABCD. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) bằng ?
Xem đáp án »
13/07/2024
4,674
Câu 6:
Một chất điểm chuyển động với phương trình trong đó , t được tính bằng giây (s) và s được tính bằng mét (m). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3(s) bằng
Một chất điểm chuyển động với phương trình trong đó , t được tính bằng giây (s) và s được tính bằng mét (m). Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3(s) bằng
Xem đáp án »
08/05/2022
4,456
về câu hỏi!