Câu hỏi:
19/05/2022 748
Cho hình hộp chữ nhật có diện tích toàn phần bằng 36, độ dài đường chéo bằng 6. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp đó.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án: \(8\sqrt 2 \)
Phương pháp giải:
- Gọi số đo của hình hộp chữ nhật là \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\). Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật là \({S_{tp}} = 2\left( {ab + bc + ca} \right)\) và thể tích khối hộp chữ nhật là \(V = abc\).
- Sử dụng hằng đẳng thức biểu diễn \(a + c\) theo \(b\).
- Tính thể tích theo biến \(b\), sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN của hàm số.
Giải chi tiết:
Gọi số đo của hình hộp chữ nhật là \(a,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} b,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} c\).
Khi đó ta có \({S_{tp}} = 2\left( {ab + bc + ca} \right) = 36\) và độ dài đường chéo bằng 6 nên \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 36\).
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} + {b^2} + {c^2} = 36}\\{ab + bc + ca = 18}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {a + b + c} \right)}^2} = 72}\\{ab + bc + ca = 18}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b + c = 6\sqrt 2 }\\{b\left( {a + c} \right) + ac = 18}\end{array}} \right.\)
Khi đó
\( = b\left[ {18 - 6\sqrt 2 b + {b^2}} \right]\)
\( = {b^3} - 6\sqrt 2 {b^2} + 18b = f\left( b \right)\)
Ta có:
Để tồn tại thì
\( \Leftrightarrow {b^2} - 12\sqrt 2 b + 72 \ge 72 + 4{b^2} - 24\sqrt 2 b\)
\( \Leftrightarrow 3{b^2} - 12\sqrt 2 b \le 0\)
\( \Leftrightarrow 0 \le b \le 4\sqrt 2 \)
Xét hàm số \(f\left( b \right) = {b^3} - 6\sqrt 2 {b^2} + 18b{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {0 < b \le 4\sqrt 2 } \right)\) ta có: \(f'\left( b \right) = 3{b^2} - 12\sqrt 2 b + 18 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 3\sqrt 2 }\\{b = \sqrt 2 }\end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)\)
\(f\left( {3\sqrt 2 } \right) = 0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} f\left( {\sqrt 2 } \right) = 8\sqrt 2 \)
Ta có BBT:
Từ BBT \[ \Rightarrow \mathop {max}\limits_{\left[ {0;4\sqrt 2 } \right]} f\left( b \right) = 8\sqrt 2 \].
Vậy .
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 (Tập 1) ( 39.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 140.000₫ )
- Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội, TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) ( 150.000₫ )
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án: \(\frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)
Phương pháp giải:
- Gọi M là trung điểm của BC, trong (SOM) kẻ \(OH \bot SM{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {H \in SM} \right)\), chứng minh \(OH \bot \left( {SBC} \right)\).
- Áp dụng định lí Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông tính khoảng cách.
Giải chi tiết:
Gọi M là trung điểm của BC, suy ra OM là đường trung bình của tam giác ABC.
\( \Rightarrow OM\parallel AB\), mà \(AB \bot BC\)\( \Rightarrow OM \bot BC\) và \(OM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\).
Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot OM}\\{BC \bot SO{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {SO \bot \left( {ABCD} \right)} \right)}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow BC \bot \left( {SOM} \right)\)
Trong (SOM) kẻ \(OH \bot SM{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {O \in SM} \right)\), ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC \bot \left( {SOM} \right) \Rightarrow BC \bot OH}\\{OH \bot SM}\end{array}} \right.\)\( \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OH\).
Tam giác SBC đều cạnh a nên \(SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông SOM có: .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOM có: \(OH = \frac{{SO.OM}}{{SM}} = \frac{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}.\frac{a}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).
Vậy \(d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\).
Lời giải
Phương pháp giải:
CSC \(\left( {{u_n}} \right)\)có tổng \(n\) số hạng đầu: \({S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2}\)
Giải chi tiết:
Tổng số viên gạch: \(S = 1 + 2 + ... + 500 = \frac{{500.\left( {1 + 500} \right)}}{2} = 125250\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
🔥 Đề thi HOT:
-
Đề thi thử ĐGNL ĐHQG Hà Nội năm 2023-2024 (Đề 20)
-
Bộ 20 đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 15)
-
ĐGNL ĐHQG Hà Nội - Tư duy định tính - Tìm và phát hiện lỗi sai
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 30)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội năm 2024 - 2025 có đáp án (Đề 1)
-
Đề thi Đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội form 2025 có đáp án (Đề 3)
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận