Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Hãy xác định điểm K sao cho $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}.$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: $\overrightarrow{OK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}.$

a) Cách 1:

Giả sử có điểm K thỏa mãn $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$ . Khi đó $\overrightarrow{KA}=-2\overrightarrow{KB}$  . Suy ra hai vectơ $\stackrel{\rightharpoonup }{KA}$  và  $\stackrel{\rightharpoonup }{KB}$cùng phương, ngược hướng và KA = 2KB. Suy ra điểm K thuộc đoạn AB và KA = 2KB.

Cách 2:

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$  .

Khi đó ta có: $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}.$

$$\begin{gathered} \iff \left(\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MA}\right)+2\left(\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MB}\right)=\overrightarrow{0} \\ \iff \overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{KM}+2\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0} \\ \iff \left(\overrightarrow{KM}+2\overrightarrow{KM}\right)+\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0} \\ \iff 3\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0} (vì \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}) \\ \iff 3\overrightarrow{KM}=-\overrightarrow{MB} \\ \iff 3\overrightarrow{KM}=\overrightarrow{BM} \\ \iff \overrightarrow{KM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BM} \\ \iff \overrightarrow{MK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MB} \end{gathered}$$

Suy ra vecto $\stackrel{\rightharpoonup }{MK}$  cùng hướng với vectơ  $\stackrel{\rightharpoonup }{MB}$ và thỏa mãn

Vậy điểm K là điểm nằm giữa M và B sao cho thỏa mãn $MK=\frac{1}{3}MB.$

b)

Cách 1:

Ta có:  

 $$\begin{gathered} \frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KA}\right)+\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{OK}+\overrightarrow{KB}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{OK}+\frac{1}{3}\overrightarrow{KA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OK}+\frac{2}{3}\overrightarrow{KB} \\ =\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{OK}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OK}\right)+\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{KA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{KB}\right)=\overrightarrow{OK}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}\right) \end{gathered}$$

Mà  $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}$ (theo câu a) do đó  $\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OK}+\frac{1}{3}.\overrightarrow{0}=\overrightarrow{OK}$

Vậy với mọi điểm O, ta có:  $\overrightarrow{OK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}.$

Cách 2:

Ta có: $\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MK}$

Theo câu a ta có  $\overrightarrow{MK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{MB}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)$

Do đó $\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{OM}+\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)=\overrightarrow{OM}+\frac{1}{3}\overrightarrow{MO}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$

 $$\begin{gathered} =\overrightarrow{OM}-\frac{1}{3}\overrightarrow{OM}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB} \\ =\frac{2}{3}\overrightarrow{OM}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB} \end{gathered}$$

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$

Vì M là trung điểm của AB nên  $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OM}\Rightarrow \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$

$=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{OK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$

Vậy với mọi điểm O, ta có:  $\overrightarrow{OK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}.$