Cho hai điểm phân biệt A và B. a) Hãy xác định điểm K sao cho KA→+2KB→=0→. b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: OK→=13OA→+23OB→.

a) Cách 1: Giả sử có điểm K thỏa mãn KA→+2KB→=0→ . Khi đó KA→=−2KB→ . Suy ra hai vectơ KA⇀ và KB⇀cùng phương, ngược hướng và KA = 2KB. Suy ra điểm K thuộc đoạn AB và KA = 2KB. Cách 2: Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB suy ra MA→+MB→=0→ . Khi đó ta có: KA→+2KB→=0→. ⇔KM→+MA→+2KM→+MB→=0→⇔KM→+MA→+2KM→+2MB→=0→⇔KM→+2KM→+MA→+MB→+MB→=0→⇔3KM→+MB→=0→ (vì MA→+MB→=0→)⇔3KM→=−MB→⇔3KM→=BM→⇔KM→=13BM→⇔MK→=13MB→ Suy ra vecto MK⇀ cùng hướng với vectơ MB⇀ và thỏa mãn Vậy điểm K là điểm nằm giữa M và B sao cho thỏa mãn MK=13MB. b) Cách 1: Ta có: 13OA→+23OB→=13OK→+KA→+23OK→+KB→=13OK→+13KA→+23OK→+23KB→=13OK→+23OK→+13KA→+23KB→=OK→+13KA→+2KB→ Mà KA→+2KB→=0→ (theo câu a) do đó 13OA→+23OB→=OK→+13.0→=OK→ Vậy với mọi điểm O, ta có: OK→=13OA→+23OB→. Cách 2: Ta có: OK→=OM→+MK→ Theo câu a ta có MK→=13MB→=13MO→+OB→ Do đó OK→=OM→+MK→=OM→+13MO→+OB→=OM→+13MO→+13OB→ =OM→−13OM→+13OB→=23OM→+13OB→ OA→+OB→=2OM→⇒OM→=12OA→+OB→ Vì M là trung điểm của AB nên OA→+OB→=2OM→⇒OM→=12OA→+OB→ =23.12OA→+OB→+13OB→=13OA→+OB→+13OB→ ⇒OK→=13OA→+13OB→+13OB→=13OA→+23OB→ Vậy với mọi điểm O, ta có: OK→=13OA→+23OB→.

Câu hỏi:

21/05/2022 23,264

Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Hãy xác định điểm K sao cho $\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0} .$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: $\vec{O K} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bài tập Tích của một vecto với một số có đáp án !!

Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực ĐHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (chỉ từ 110k).

Đề ĐGNL Hà Nội Đề ĐGNL Tp.Hồ Chí Minh Đề ĐGTD Bách Khoa HN

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

a) Cách 1:

Giả sử có điểm K thỏa mãn $\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0}$ . Khi đó $\vec{K A} = - 2 \vec{K B}$ . Suy ra hai vectơ $\overset{⇀}{K A}$ và $\overset{⇀}{K B}$ cùng phương, ngược hướng và KA = 2KB. Suy ra điểm K thuộc đoạn AB và KA = 2KB.

Cho hai điểm phân biệt A và B. a) Hãy xác định điểm K sao cho (ảnh 1)

Cách 2:

Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB suy ra $\vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}$ .

Cho hai điểm phân biệt A và B. a) Hãy xác định điểm K sao cho (ảnh 2)

Khi đó ta có: $\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0} .$

$\Leftrightarrow (\vec{K M} + \vec{M A}) + 2 (\vec{K M} + \vec{M B}) = \vec{0} \Leftrightarrow \vec{K M} + \vec{M A} + 2 \vec{K M} + 2 \vec{M B} = \vec{0} \Leftrightarrow (\vec{K M} + 2 \vec{K M}) + (\vec{M A} + \vec{M B}) + \vec{M B} = \vec{0} \Leftrightarrow 3 \vec{K M} + \vec{M B} = \vec{0} (v ì \vec{M A} + \vec{M B} = \vec{0}) \Leftrightarrow 3 \vec{K M} = - \vec{M B} \Leftrightarrow 3 \vec{K M} = \vec{B M} \Leftrightarrow \vec{K M} = \frac{1}{3} \vec{B M} \Leftrightarrow \vec{M K} = \frac{1}{3} \vec{M B}$

Suy ra vecto $\overset{⇀}{M K}$ cùng hướng với vectơ $\overset{⇀}{M B}$ và thỏa mãn

Cho hai điểm phân biệt A và B. a) Hãy xác định điểm K sao cho (ảnh 3)

Vậy điểm K là điểm nằm giữa M và B sao cho thỏa mãn $M K = \frac{1}{3} M B .$

Cho hai điểm phân biệt A và B. a) Hãy xác định điểm K sao cho (ảnh 4)

Cách 1:

Ta có:

$\frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B} = \frac{1}{3} (\vec{O K} + \vec{K A}) + \frac{2}{3} (\vec{O K} + \vec{K B}) = \frac{1}{3} \vec{O K} + \frac{1}{3} \vec{K A} + \frac{2}{3} \vec{O K} + \frac{2}{3} \vec{K B} = (\frac{1}{3} \vec{O K} + \frac{2}{3} \vec{O K}) + (\frac{1}{3} \vec{K A} + \frac{2}{3} \vec{K B}) = \vec{O K} + \frac{1}{3} (\vec{K A} + 2 \vec{K B})$

Mà $\vec{K A} + 2 \vec{K B} = \vec{0}$ (theo câu a) do đó $\frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B} = \vec{O K} + \frac{1}{3} . \vec{0} = \vec{O K}$

Vậy với mọi điểm O, ta có: $\vec{O K} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B} .$

Cách 2:

Ta có: $\vec{O K} = \vec{O M} + \vec{M K}$

Theo câu a ta có $\vec{M K} = \frac{1}{3} \vec{M B} = \frac{1}{3} (\vec{M O} + \vec{O B})$

Do đó $\vec{O K} = \vec{O M} + \vec{M K} = \vec{O M} + \frac{1}{3} (\vec{M O} + \vec{O B}) = \vec{O M} + \frac{1}{3} \vec{M O} + \frac{1}{3} \vec{O B}$

$= \vec{O M} - \frac{1}{3} \vec{O M} + \frac{1}{3} \vec{O B} = \frac{2}{3} \vec{O M} + \frac{1}{3} \vec{O B}$

$\vec{O A} + \vec{O B} = 2 \vec{O M} \Rightarrow \vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$

Vì M là trung điểm của AB nên $\vec{O A} + \vec{O B} = 2 \vec{O M} \Rightarrow \vec{O M} = \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B})$

$= \frac{2}{3} . \frac{1}{2} (\vec{O A} + \vec{O B}) + \frac{1}{3} \vec{O B} = \frac{1}{3} (\vec{O A} + \vec{O B}) + \frac{1}{3} \vec{O B}$

$\Rightarrow \vec{O K} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O B} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B}$

Vậy với mọi điểm O, ta có: $\vec{O K} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{2}{3} \vec{O B} .$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Chất điểm A chịu tác động của ba lực $\vec{F_{1}}, \vec{F_{2}}, \vec{F_{3}}$ như Hình 4.30 và ở trạng thái cân bằng (tức là $\vec{F_{1}} + \vec{F_{2}} + \vec{F_{3}} = \vec{0}$ ). Tính độ lớn của các lực $\vec{F_{2}}, \vec{F_{3}},$ biết $\vec{F_{1}}$ có độ lớn là 20N.

Xem đáp án » 21/05/2022 72,446

Câu 2:

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Hãy biểu thị $\vec{A M}$ theo hai vecto $\vec{A B}$ và $\vec{A D} .$

Xem đáp án » 21/05/2022 27,301

Câu 3:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng $\vec{B C} + \vec{A D} = 2 \vec{M N} = \vec{A C} + \vec{B D} .$

Xem đáp án » 21/05/2022 17,738

Câu 4:

Cho tam giác ABC.

a) Hãy xác định điểm M để $\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C} = \vec{0} .$

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có: $\vec{O A} + \vec{O B} + 2 \vec{O C} = 4 \vec{O M} .$

Xem đáp án » 21/05/2022 13,424

Câu 5:

Cho đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A và B (H.4.25). Những khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi tồn tại số t để $\vec{A M} = t \vec{A B}$ .

b) Với điểm M bất kì, ta luôn có: $\vec{A M} = \frac{A M}{A B} . \vec{A B} .$

c) Điểm M thuộc tia đối của tia AB khi và chỉ khi tồn tại số t ≤ 0 để $\vec{A M} = t \vec{A B} .$

Xem đáp án » 21/05/2022 3,400

Câu 6:

Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chứng minh với điểm O tùy ý, ta có:

$\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = 3 \vec{O G}$

Xem đáp án » 21/05/2022 2,621

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP