Có bao nhiêu đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng\[7x - y - 5 = 0\], \[x + y + 13 = 0\] và với một trong hai đường thẳng đó tại \[M\left( {1;2} \right)\]?

Phương pháp giải: Áp dụng \[IM = d(I,{\Delta _1}) = d(I,{\Delta _2})\].

Giải chi tiết:

Gọi \[I\left( {x;y} \right)\] là tâm của đường tròn (C).

$I(x;y),M(1;2)\Rightarrow \overrightarrow{IM}\mathrm{ }=(1-x;2-y)$

Theo  đề bài, ta có hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| {7x - 7 - 5} \right|}}{{5\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {x + y + 13} \right|}}{{\sqrt 2 }}\\\frac{{\left| {x + y + 13} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \sqrt {{{(1 - x)}^2} + {{(2 - y)}^2}} \end{array} \right.\] \(\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}\left( 1 \right)\\\end{array}\\{\left( 2 \right)}\end{array}\)

Từ $\left(1\right)\Rightarrow |7x-y-5|=|5x+5y+65|\iff [\begin{array}{c}7x-y-5=5x+5y+65\\ 7x-y-5=\mathrm{ }-5x-5y-65\end{array}$

$\iff [\begin{array}{c}x=3y+35\\ y=\mathrm{ }-3x-15\end{array}$

+) Thay \[x = 3y + 35\] vào (2) ta được: $y^2+4y+4=0\iff y=\mathrm{ }-2\Rightarrow x=29;R=20\sqrt{2}$

\[ \Rightarrow (C):{\left( {x - 29} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 800\]

 +) Thay \[y =  - 3x - 15\] vào (2) ta được: $x^2+12x+36=0\iff x=-6\Rightarrow y=3;R=5\sqrt{2}$

\[ \Rightarrow (C):{\left( {x + 6} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 50\]

Chọn C.