Trong không gian Oxyz cho hình thang cân ABCD có đáy AB và CD. Biết \[A(3;1; - 2),B( - 1;3;2),C( - 6;3;6);D(a;b;c);a,b,c \in \mathbb{R}\]. Giá trị a + b + c bằng

Phương pháp giải: - Sử dụng tính chất hình thang cân: ABCD là hình thang cân nên \[\left\{ \begin{array}{l}AD = BC\\AB\parallel CD\end{array} \right.\]

- \[\overrightarrow {BA} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {CD} \] cùng hướng nên $\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{BA}(k>0)$, tham số hóa tọa độ điểm D.

- Thay vào biểu thức  rồi tìm D.

- Loại trường hợp \[\overrightarrow {AD} ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \overrightarrow {BC} \] cùng phương.

Giải chi tiết:

Vì \[ABCD\]  là hình thang cân nên \[\left\{ \begin{array}{l}AD = BC\\AB\parallel CD\end{array} \right.\]

Ta có: $A(3;1;-2);B(-1;3;2);C(-6;3;6);D(a;b;c)$

$\Rightarrow \overrightarrow{BA}\mathrm{ }=(4;-2;-4);\overrightarrow{CD}=(a+6;b-3;c-6)$.

Vì \[\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CD} \] cùng hướng nên $\overrightarrow{CD}\mathrm{ }=k\overrightarrow{BA}\to (k>0)$, khi đó ta có:

$\{\begin{array}{c}a+6=4k\\ b-3=-2k\\ c-6=\mathrm{ }-4k\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=4k-6\\ b=-2k+3\\ c=\mathrm{ }-4k+6\end{array}\Rightarrow D(4k-6;-2k+3;-4k+6).$Vì \[ABCD\] là hình thang cân nên \[AD = BC \Leftrightarrow A{D^2} = B{C^2}\].

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {4k - 9} \right)^2} + {\left( { - 2k + 2} \right)^2} + {\left( { - 4k + 8} \right)^2} = {\left( { - 5} \right)^2} + {0^2} + {4^2}\\ \Leftrightarrow 36{k^2} - 144k + 108 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 3\\k = 1\end{array} \right.\left( {tm} \right)\end{array}\]

Với \[k = 3 \Rightarrow D\left( {6; - 3; - 6} \right)\].

Khi đó ta có: $\overrightarrow{AD}\mathrm{ }=(3;-4;-4),\overrightarrow{BC}\mathrm{ }=(-5;0;4)$ không cùng phương (thỏa mãn).

Với \[k = 1 \Rightarrow D\left( { - 2;1;2} \right)\].

Khi đó ta có: $\overrightarrow{AD}\mathrm{ }=(-5;0;4),\overrightarrow{BC}\mathrm{ }=(-5;0;4)$ cùng phương (không thỏa mãn).

Vậy $D(6;-3;-6)\Rightarrow a+b+c=\mathrm{ }-3.$

Chọn D.