Cho hàm số \[f(x)\] liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}sin2x.f(co{s}^{2}x)dx=1$, khi đó \[\int\limits_0^1 {\left[ {2f(1 - x) - 3{x^2} + 5} \right]dx} \]bằng:

Phương pháp giải: - Xét tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \sin 2x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx\], đổi biến \[t = {\cos ^2}x\]. Tính được \[\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx\].

- Sử dụng tính chất tích phân \[\mathop \smallint \limits_a^b \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx = \mathop \smallint \limits_a^b f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \limits_a^b g\left( x \right)dx\], phân tích \[\mathop \smallint \limits_0^1 \left[ {2f\left( {1 - x} \right) - 3{x^2} + 5} \right]dx\]

- Tiếp tục đổi biến hoặc đưa biến vào vi phân, biểu diễn \[\mathop \smallint \limits_0^1 \left[ {2f\left( {1 - x} \right) - 3{x^2} + 5} \right]dx\] theo \[\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx\] và tính.

Giải chi tiết:

Xét tích phân \[I = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} \sin 2x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right)dx\].

Đặt $t={\cos }^{2}x\Rightarrow t=2\cos x.(-\sin x)dx=\mathrm{ }-\sin 2xdx$.

Đổi cận: \[x = 0 \Rightarrow t = 1,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 0\].

Khi đó ta có $I=-\underset{1}{\overset{0}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=1$.

Ta có:

$\begin{array}{c}\underset{0}{\overset{1}{\int }}[2f(1-x)-3x^2+5]dx=2\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(1-x)dx+\underset{0}{\overset{1}{\int }}(-3x^2+5)dx=\mathrm{ }-2\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(1-x)d(1-x)+4\end{array}=2.1+4=6$

Chọn D.