Cho phương trình \[lo{g_7}({x^2} + 2x + 2) + 1 > log({x^2} + 6x + 5 + m)\]. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng (1;3) ?

Đáp án: 36

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

ĐK: \[{x^2} + 6x + 5 + m > 0\].

\[\begin{array}{l}lo{g_7}\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) + 1 > lo{g_7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)\\ \Leftrightarrow lo{g_7}7\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) > lo{g_7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)\\ \Leftrightarrow 7\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) > {x^2} + 6x + 5 + m\\ \Leftrightarrow 7{x^2} + 14x + 14 - {x^2} - 6x - 5 - m > 0\\ \Leftrightarrow 6{x^2} + 8x + 9 - m > 0\end{array}\]

Bất phương trình đã cho có nghiệm chứa khoảng \[\left( {1;3} \right)\] ⇔ bất phương trình đã cho xác định trên khoảng \[\left( {1;3} \right)\] và bất phương trình luôn đúng với mọi \[x \in \mathbb{R}\]hoặc bất phương trình có nghiệm thỏa mãn \[\left[ \begin{array}{l}3 \le {x_1} < {x_2}\\{x_1} < {x_2} \le 1\end{array} \right.\]  với \[{x_1},{x_2}\] là hai nghiệm của phương trình \[6{x^2} + 8x + 9 - m = 0\].

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\iff [\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }\text{'}\mathrm{ }<0\\ \{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }\text{'}\ge 0\\ [\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2>6\\ (x_1-3)(x_2-3)\ge 0\end{array}\\ \{\begin{array}{c}{x}_1+x_2<2\\ (x_1-1)(x_2-1)\ge 0\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{c}{4}^2-6(9-m)<0\\ \{\begin{array}{c}{4}^2-6(9-m)\ge 0\\ [\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}\frac{-8}{6}>6\left(ktm\right)\{x_1{x}_2-3(x_1+x_2)+9\ge 0\end{array}\\ \{\begin{array}{c}\frac{-8}{6}<2\{x_1{x}_2-(x_1+x_2)+1\ge 0\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{c}16-54+6m<0\\ \{\begin{array}{c}16-54+6m\ge 0\\ 9-m6+86+1\ge 0\end{array}\end{array}\end{array} \\ \iff [\begin{array}{c}m<193\\ \{\begin{array}{c}m\ge \frac{19}{3}\\ 9-m+8+6\ge 0\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{c}m<\frac{19}{3}\\ \{\begin{array}{c}m\ge \frac{19}{3}\\ m\le 23\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{c}m<\frac{19}{3}\\ 193\le m\le 23\end{array}\iff m\le 23 \end{gathered}$$

Hàm số đã cho xác định trên $(1;3)\iff x^2+6x+5+m>0\forall x\in (1;3)$

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}\iff [\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }\text{'}\mathrm{ }<0\\ \{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }\text{'}\mathrm{ }\ge 0\\ [\begin{array}{c}3\le x_1<x_2\\ x_1<x_2\le 1\end{array}\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }\text{'}Â\mathrm{ }<0\\ \{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }\text{'}\ge 0\\ [\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{x}_1+x_2>6\\ (x_1-3)(x_2-3)\ge 0\end{array}\\ \{\begin{array}{c}{x}_1+x_2<2\\ (x_1-1)(x_2-1)\ge 0\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{c}{3}^2-5-m<0\\ \{\begin{array}{c}{3}^2-5-m\ge 0\\ [\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}-6>6\left(ktm\right)\\ x_1{x}_2-3(x_1+x_2)+9\ge 0\end{array}\\ \{\begin{array}{c}-6<2\\ x_1{x}_2-(x_1+x_2)+1\ge 0\end{array}\end{array}\end{array}\end{array}\iff \end{array} \\ [\begin{array}{c}9-5-m<0\\ \{\begin{array}{c}9-5-m\ge 0\\ 5+m+6+1\ge 0\end{array}\end{array}\iff [\begin{array}{c}m>4\\ \{\begin{array}{c}m\le 4\\ m\ge \mathrm{ }-12\end{array}\end{array}\iff m\ge -12 \end{gathered}$$

Kết hợp lại ta có: \[ - 12 \le m \le 23\], mà \[m \in Z\]

Vậy có \[\left( {23 + 12} \right):1 + 1 = 36\] giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.