Một trang chữ của một quyển sách giáo khoa Toán học cần diện tích 384cm². Biết rằng trang giấy được căn lề trái là 2cm, lề phải 2cm, lề trên 3cm, lề dưới là 3cm. Trang sách đạt diện tích nhỏ nhất thì có chiều dài và chiều rộng là:

Đáp án: 30;20

Phương pháp giải: - Gọi chiều dài, chiều rộng của trang chữ lần lượt là \[x,y\left( {x,y > 0,cm} \right).\]

- Từ diện tích trang chữ, rút \[y\] theo \[x\] hoặc ngược lại.

- Tính chiều dài, chiều rộng của trang sách, từ đó tính diện tích trang sách.

- Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số không âm : \[a + b \ge 2\sqrt {ab} \] hoặc sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN, GTNN của hàm số.

Giải chi tiết:

Gọi chiều dài, chiều rộng của trang chữ lần lượt là \[x,y\left( {x,y > 0,cm} \right).\]

Vì trang chữ có diện tích là \[384c{m^2}\] nên \[xy = 384 \Rightarrow y = \frac{{384}}{x}\].

Chiều dài của trang sách là \[x + 6(cm),\]chiều rộng của trang sách là \[y + 4\left( {cm} \right).\]

Khi đó, diện tích của trang sách là:

$$\begin{gathered} \begin{array}{c}S=(x+6)(y+4)=(x+6)(\frac{384}{x}+4)=384+4x+\frac{2304}{x}+24\end{array} \\ =408+4x+\frac{2304}{x}\ge 408+2.\sqrt{4x.\frac{2304}{x}}\mathrm{ }=600 \end{gathered}$$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[4x = \frac{{2304}}{x} \Leftrightarrow x = 24.\].

⇒\[{S_{max}} = 600 \Leftrightarrow x = 24 \Rightarrow y = \frac{{384}}{{24}} = 16.\].

Vậy chiều dài, chiều rộng của trang sách lần lượt là 30, 20 cm.