Cho \(a\,,\,b\)là các số nguyên và $\underset{x\to 1}{lim}\frac{a{x}^2+bx-\mathrm{\hspace{0.17em}5}}{x-\mathrm{\hspace{0.17em}1}}=\mathrm{\hspace{0.17em}20}$. Tính \(P\, = \,{a^2}\, + \,{b^2}\, - \,a\, - \,b\).

Đáp án: P = 320

Phương pháp giải: - Chia tử cho mẫu

- Sử dụng công thức \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {f(x) + g(x)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) + \mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x)\), lập hệ phương trình và giải hệ tìm a,b

- Thay giá trị a, b tìm được để tính giá trị biểu thức P

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a{x^2} + bx - 5}}{{x - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a({x^2} - 1)\, + \,b(x - 1)\, + \,a\, + \,b\, - \,5}}{{x\, - \,1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left[ {a(x + 1) + b} \right]\,\, + \mathop {\,\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a\, + \,b\, - \,5}}{{x\, - \,1}}\\ = 2a\, + \,b\, + \,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a\, + \,b\, - \,5}}{{x\, - \,1}}\end{array}\)

Theo đề bài ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{a{x^2}\, + \,bx\, - \,5}}{{x\, - \,1}}\, = \,20\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2a\, + \,b\, = \,20}\\{a\, + \,b\, - \,5\, = \,0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a\, = \,15}\\{b\, = \, - 10}\end{array}} \right.\)

Vậy $P=a^2+b^2-a-b={15}^2+{(-10)}^2-15-(-10)=320$