Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí bởi một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ toạ độ Oxy với \(O\)là tâm hình vuông sao cho\(A\left( {1\,;\,1} \right)\) như hình vẽ bên thì các đường cong OA có phương trình \(y\, = \,{x^2}\) và \(y\, = \,a{x^3}\, + \,bx\). Tính giá trị ab biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm \(\frac{1}{3}\) diện tích mặt sàn.

Đáp án: -2

Phương pháp giải: - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f(x),y = g(x)\), đường thẳng\(x = a,x = b\)là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx} \). Từ đó tính diện tích 1 cánh của hình trang trí và suy ra diện tích hình trang trí

- Sử dụng dữ kiện diện tích trang trí màu sẫm chiếm \(\frac{1}{3}\)diện tích mặt sàn suy ra 1 phương trình bậc nhất 2 ẩn\(a,b\)

- Sử dụng đồ thị hàm số \(y = a{x^3} + bx\)đi qua điểm \(A(1;1)\)suy ra thêm 1 phương trình bậc nhất 2 ẩn \(a,b\)

- Giải hệ tìm \(a,b\)và tính\(ab\)

Giải chi tiết:

Diện tích 1 cánh của hình trang trí là: $S_1=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(x^2-a{x}^3-bx)𝑑x=(\frac{x^3}{3}-\frac{a{x}^4}{4}-\frac{b{x}^2}{2})|{\displaystyle \frac{1}{0}}=\frac{1}{3}-\frac{a}{4}-\frac{b}{2}$

\( \Rightarrow \)diện tích hình trang trí là: \(S = 4{S_1} = \frac{4}{3} - a - 2b\)

Vì diện tích trang trí màu sẫm chiếm \(\frac{1}{3}\)diện tích mặt sàn nên $\frac{4}{3}-a-\mathrm{\hspace{0.17em}2}b=\frac{4}{3}\iff a+\mathrm{\hspace{0.17em}2}b=\mathrm{\hspace{0.17em}0}$

Khi đó ta có: $\{\begin{array}{c}a+2b=0\\ a+b=1\end{array}\iff \{\begin{array}{c}a=2\\ b=-1\end{array}$

Vậy $ab=\mathrm{ }-2$