Cho bất phương trình: $1+{\log }_5\left(x^2+1\right)\ge {\log }_5\left(m{x}^2+4x+m\right)\left(1\right).$ Tìm tất cả các giá trị của m để (1) được nghiệm đúng với mọi số thực x

Ta có: $1+{\log }_5\left(x^2+1\right)\ge {\log }_5\left(m{x}^2+4x+m\right)$

$\iff {\log }_{5}5\left(x^2+1\right)\ge {\log }_5\left(m{x}^2+4x+m\right)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m{x}^2+4x+m>0\\ 5\left(x^2+1\right)\ge m{x}^2+4x+m\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m{x}^2+4x+m>0\left(2\right)\\ \left(m-5\right)x^2+4x+m-5\le 0\left(3\right)\end{array}\right..$

Bất phương trình (1) được nghiệm đúng với mọi số thực x khi và chỉ khi các bất phương trình (2), (3) được nghiệm đúng với mọi số thực x

+) Xét (2)

Nếu $m=0,\left(2\right)\iff 4x\le 0\iff x\le 0$ không thỏa mãn với mọi x

Nếu $m\ne 0$ nghiệm đúng với mọi số thực $x\iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ \Delta \text{'}=4-m^2<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>0\\ \left[\begin{array}{l}m<-2\\ m>2\end{array}\right.\end{array}\right.\iff m>2\left(a\right).$

+) Xét (3)

Nếu $m=5,\left(3\right)\iff 4x\le 0\iff x\le 0$ không thỏa mãn với mọi x

Nếu $m\ne 5,\left(3\right)$ có nghiệm đúng với mọi số thực $x\iff \left\{\begin{array}{l}m-5<0\\ \Delta \text{'}=4-{\left(m-5\right)}^2\le 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m<5\\ \left[\begin{array}{l}m-5\le -2\\ m-5\ge 2\end{array}\right.\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}m<5\\ \left[\begin{array}{l}m\le 3\\ m\ge 7\end{array}\right.\end{array}\right.\iff m\le 3\left(b\right).$

Từ (a) và (b) suy ra: Yêu cầu của bài toán xảy ra khi và chỉ khi $2<m\le 3.$

Chọn A.