Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình ${\sin }^{4}x +{\cos }^{4}x + {\cos }^{2}4x = m$  có 4 nghiệm phân biệt $x\in \left[\frac{-\mathrm{\pi }}{4};\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right]$ 

${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x+{\cos }^{2}4x=m$

$\iff {\cos }^{2}4x+\text{}{\left({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x\right)}^2-2{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}x=m$

$\iff {\cos }^{2}4x+1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x=m$

$\iff {\cos }^{2}4x+1-\frac{1}{4}\left(1-\cos 4x\right)=m$

$\iff {\cos }^{2}4x+\frac{1}{4}\cos 4x+\frac{3}{4}=m\text{ (1) }$

Đặt t = , với

Khi đó phương trình (1) trở thành $t^2+\frac{1}{4}t+\frac{3}{4}=m\text{ (2)}$

Xét đồ thị hàm số trên $\left[\frac{-\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$

Với mỗi nghiệm $t\in \left[-1;\left.1\right)\right.$ cho hai nghiệm x (từ đồ thị ta thấy)

Với mỗi nghiệm t = 1 cho 1 nghiệm x.

Do đó, để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thuộc $\left[\frac{-\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$ thì phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt thuộc $\left[-1;\left.1\right)\right.$.

$\Rightarrow$ Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số $f\left(t\right)=t^2+\frac{1}{4}t+\frac{3}{4}$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ thuộc $\left[-1;\left.1\right)\right.$.

BBT đồ thị hàm số f(t) = $t^2+\frac{1}{4}t+\frac{3}{4}$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy $\frac{47}{64}<m\le \frac{3}{2}$

Vậy m $\in \left(\frac{47}{64}\right.;\left.\frac{3}{2}\right]$