Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $A,AB=1cm,AC=\sqrt{3}cm$ . Tam giác SAB, SAC lần lượt vuông tại B và C. Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có thể tích bằng $\frac{5\sqrt{5}\pi }{6}c{m}^3$ . Tính khoảng cách từ C đến $\left(SAB\right)$ .

Đáp án A

Gọi I là trung điểm của SA.

Tam giác SAB, SAC vuông tại $B,C\Rightarrow IS=IA=IB=IC\Rightarrow I$  là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.

Gọi H là trung điểm của BC. Vì $\Delta ABC$  vuông tại $A\Rightarrow H$  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC\Rightarrow IH\perp \left(ABC\right)$ .

Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.

Theo đề bài ta có:

$\begin{array}{l}\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{5\sqrt{5}\pi }{6}\iff R^3=\frac{5\sqrt{5}}{8}=\frac{\sqrt{125}}{8}\\ \iff R=\frac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow IS=IA=IB=IC=\frac{\sqrt{5}}{2}\end{array}$.

Xét tam giác vuông ABC có: $BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=2\Rightarrow AH=1$ .

Xét tam giác vuông IAH có: $IH=\sqrt{I{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{\frac{5}{4}-1}=\frac{1}{2}$ .

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC=\frac{1}{2}\mathrm{.1.}\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow V_{I.ABC}=\frac{1}{3}.IH.S_{\Delta ABC}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ta có: $SI\cap \left(ABC\right)=A\Rightarrow \frac{d\left(S;\left(ABC\right)\right)}{d\left(I;\left(ABC\right)\right)}=\frac{SA}{IA}=2\Rightarrow \frac{V_{S.ABC}}{V_{S.IBC}}=2\Rightarrow V_{S.ABC}=2V_{I.ABC}=2.\frac{\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{6}$ .

Xét tam giác vuông SAB có $IB=\frac{\sqrt{5}}{2}\Rightarrow SA=2IB=\sqrt{5}\Rightarrow SB=\sqrt{S{A}^2-A{B}^2}=2$ $\Rightarrow S_{\Delta SAB}=\frac{1}{2}\mathrm{.1.2}=1$.

Ta có: $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}d\left(C;\left(SAB\right)\right).S_{\Delta SAB}\Rightarrow d\left(C;\left(SAB\right)\right)=\frac{3V_{S.ABC}}{S_{\Delta SAB}}=\frac{3.\frac{\sqrt{3}}{6}}{1}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$