Tìm tập S tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp số (x;y) thỏa mãn ${\log }_{x^2+y^2+2}(4x+4y-6+m^2)\ge 1$  và $x^2+y^2+2x-4y+1=0$ .

Đáp án D

Ta có: $\begin{array}{l}{\log }_{x^2+y^2+2}(4x+4y-6+m^2)\ge 1={\log }_{x^2+y^2+2}(x^2+y^2+2)\\ \iff 4x+4y-6+m^2\ge x^2+y^2+2(do{x}^2+y^2+2>1)\\ \iff x^2+y^2-4x-4y-m^2+8\le 0\left(1\right).\end{array}$

Ta có: $a^2+b^2-c=4+4+m^2-8=m^2\left(2\right).$

TH1: $m=0\Rightarrow \left(1\right):x^2+y^2-4x-4y+8=0\iff {(x-2)}^2+{(y-2)}^2=0\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=2\end{array}.$

Cặp số $(x;y)=(2;2)$  không thỏa mãn điều kiện (2).

TH2: $m\ne 0\Rightarrow m^2>0\Rightarrow$ Tập hợp các cặp số (x;y) thỏa mãn (1) là hình tròn (C1) (kể cả biên) tâm I1(2;2), bán kính R1=m.

Tập hợp các cặp số (x;y) thỏa mãn (2) là đường tròn (C1) tâm I2(-1;2) bán kính $R_2=\sqrt{1+4-1}=2$ .

Để tồn tại duy nhất cặp số  thỏa mãn 2 điều kiện (1) và (2).

Suy ra xảy ra 2 trường hợp sau:

+ $\left(C_1\right);\left(C_2\right)$  tiếp xúc ngoài $\iff I_1{I}_2=R_1+R_2\iff \sqrt{{(-1-2)}^2+{(2-2)}^2}=m+2\iff 3=m+2\iff m=1$  (thỏa mãn).

+ $\left(C_1\right);\left(C_2\right)$  tiếp xúc trong và  $R_1<R_2\iff \{\begin{array}{l}{I}_1{I}_2=|R_1-R_2|\\ m<2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3=|m-2|\\ m<2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}m=5\\ m=-1\end{array}\\ m<2\end{array}\iff m=-1$(thỏa mãn).

Vậy $S=\{\pm 1\}$ .