Câu hỏi:
13/07/2024 3,217
Cho biểu thức
1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P?
2) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P có giá trị nguyên?
Cho biểu thức
1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P?
2) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P có giá trị nguyên?
Câu hỏi trong đề: Đề ôn thi vào 10 môn Toán có đáp án (Mới nhất) !!
Quảng cáo
Trả lời:
1) Điều kiện xác định \[\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x - \sqrt x \ne 0\\x + \sqrt x \ne 0\\x + 2 \ne 0\\x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 0\\x \ne 1\\x \ne - 2\\x \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\\x \ne 2\end{array} \right.\]
Ta có: \[P = \left[ {\frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x - \sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right]\,\,:\,\,\frac{{x + 2}}{{x - 2}}\]
\[ = \frac{{x + \sqrt x + 1 - x + \sqrt x - 1}}{{\sqrt x }}\,\,:\,\,\frac{{x + 2}}{{x - 2}} = \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}}\]
Vậy: \[P = \frac{{2\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}}\]
Cách 2:
Đặt \[a = \sqrt x \,\,\left( {a \ge 0} \right)\]
Ta có \[P = \left( {\frac{{{a^3} - 1}}{{{a^2} - a}} - \frac{{{a^3} + 1}}{{{a^2} + a}}} \right)\,\,:\,\,\frac{{{a^2} + 2}}{{{a^2} - 2}}\]
\[ = \left[ {\frac{{\left( {a - 1} \right)\left( {{a^2} + a + 1} \right)}}{{a\left( {a - 1} \right)}} - \frac{{\left( {a + 1} \right)\left( {{a^2} - a + 1} \right)}}{{a\left( {a + 1} \right)}}} \right].\frac{{{a^2} - 2}}{{{a^2} + 2}}\]
\[ = \left[ {\frac{{\left( {{a^2} + a + 1} \right) - \left( {{a^2} - a + 1} \right)}}{a}} \right].\frac{{{a^2} - 2}}{{{a^2} + 2}} = 2.\frac{{{a^2} - 2}}{{{a^2} + 2}} = 2.\frac{{x - 2}}{{x + 2}}\]
Nhận xét: Bài toán tìm điều kiện và rút gọn biểu thức áp dụng quy tắc tìm điều kiện và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
2) Ta có: \[P = \frac{{2x - 4}}{{x + 2}} = \frac{{2x + 4 - 8}}{{x + 2}} = 2 - \frac{8}{{x + 2}}\]
Để P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi \[8 \vdots \left( {x + 2} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = \pm 1\\x + 2 = \pm 2\\x + 2 = \pm 4\\x + 2 = \pm 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1;\,\,x = 3\\x = 0;\,\,x = - 4\\x = 2;\,\,x = - 6\\x = 6;\,\,x = - 10\end{array} \right.\]
Vậy \[x = 6\].
Nhận xét: Bài toàn tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nguyên bằng cách phân tích phần nguyên.
Hot: 500+ Đề thi vào 10 file word các Sở Hà Nội, TP Hồ Chí Minh có đáp án 2025 (chỉ từ 100k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải

1) AD,BE là đường cao của ∆ABC nên \[\widehat {CEH} = \widehat {HDC} = 90^\circ \]
\[ \Rightarrow \widehat {CEH} + \widehat {HDC} = 180^\circ \]
Suy ra tức giác CEHD là tứ giác nội tiếp (điều cần chứng minh)
Nhận xét: Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cách chứng minh tổng hai góc đối diện bằng \[180^\circ \]
Tứ giác CEHD có tổng cặp góc đối diện bằng \[180^\circ \]: \[\widehat {CEH} + \widehat {HDC} = 180^\circ \] nên là tứ giác nội tiếp.
2) CF, BE là đường cao của ∆ABC nên \[\widehat {CEB} = \widehat {BFC} = 90^\circ \]
=> Điểm E, F thuộc đường tròn đường kính BC.
=> B, C, E, F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC (điều cần chứng minh).
Nhận xét: Bài toán chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn bằng cách chứng minh hai điểm nhìn một cạnh tạo bởi hai điểm còn lại cùng dưới một góc vuông.
3) Tam giác AEH và ADH có chung góc tại đỉnh A và \[\widehat {AEH} = \widehat {ADC} = 90^\circ \] nên ∆AEH đồng dạng với ∆ADC \[ \Rightarrow \frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AC}} \Rightarrow AE.AC = AH.AD\] (điều cần chứng minh).
Tam giác BEC và ADC có chung góc tại đỉnh C và \[\widehat {BEC} = \widehat {ADC} = 90^\circ \] nên ∆BEC ∆ADC
\[ \Rightarrow \frac{{BE}}{{AD}} = \frac{{BC}}{{AC}} \Rightarrow AD.BC = CE.AC\] (điều cần chứng minh).
Nhận xét: Bài toán chứng minh các đẳng thức bằng cách chứng minh các cặp tam giác đồng dạng.
4) Ta có:
\[\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\] (cùng phụ với \[\widehat {FBC}\]);
\[\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_2}}\] (cùng chắn cung của (O));
Suy ra \[\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\]
⇒ CD là phân giác của \[\widehat {HCM}\]
Tam giác CHM có CD vừa là phân giác vừa là đường cao nên cân tại C, suy ra CD đồng thời cũng la trung trực của HM.
⇒ H, M đối xứng với nhau qua BC (điều cần chứng minh).
5) Ta có:
\[\widehat {{E_1}} = \widehat {{C_1}}\] (cùng chắn cung trong đường tròn đi qua bốn điểm B, C, E, F);
\[\widehat {{C_1}} = \widehat {{E_2}}\] (cùng chắn cung trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEHD);
Suy ra: \[\widehat {{E_1}} = \widehat {{E_2}}\]
⇒ EB là phân giác của \[\widehat {FED}\].
Chứng minh tương tự: FC là phân giác của \[\widehat {DFE}\]
Mà \[FC \cap EB = \left\{ H \right\}\] nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Lời giải
1) Gọi chữ số hàng chục là x.
Chữ số hàng đơn vị là y.
Vì tổng 2 chữ số là 9, nên ta có \[x + y = 9\] (1)
Điều kiện: \[0 < x \le 9,\,\,x \in \mathbb{N}*\] và \[0 \le y \le 9,\,\,y \in \mathbb{N}\]
Số đó là \[\overline {xy} = 10x + y\]
Số viết ngược lại là \[\overline {yx} = 10y + x\]
Vì thêm vào số đó 63 đơn vị thì được số mới viết theo thứ tự ngược lại số cũ, ta có
\[\overline {xy} + 63 = \overline {yx} \Rightarrow 10x + y + 63 = 10y + x \Leftrightarrow 9x - 9y = 63\] (2)
Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 9\\9x - 9y = - 63\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = 9\\x - y = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 2\\x + y = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 8\end{array} \right.\] (thỏa mãn điều kiện)
Vậy số cần tìm là 18.
Nhận xét: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình từ mỗi quan hệ theo số theo đề bài đã cho từ những kiến thức về cấu tạo số, phép toán số học, …
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.