Câu hỏi:

13/07/2024 111,760

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng:

1) Chứng minh rằng:

a) Tứ giác CEHD nội tiếp.

b) Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

c) AE.AC=AH.AD;AD.BC=BE.ACAE.AC=AH.AD;AD.BC=BE.AC.

d) H và M đối xứng với nhau qua BC.

2) Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

Sách mới 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

Đề toán-lý-hóa Đề văn-sử-địa Tiếng anh & các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) (ảnh 1)

1) AD,BE là đường cao của ∆ABC nên ^CEH=^HDC=90ˆCEH=ˆHDC=90

^CEH+^HDC=180ˆCEH+ˆHDC=180

Suy ra tức giác CEHD là tứ giác nội tiếp (điều cần chứng minh)

Nhận xét: Bài toán chứng minh tứ giác nội tiếp bằng cách chứng minh tổng hai góc đối diện bằng 180180

Tứ giác CEHD có tổng cặp góc đối diện bằng 180180: ^CEH+^HDC=180ˆCEH+ˆHDC=180 nên là tứ giác nội tiếp.

2) CF, BE là đường cao của ∆ABC nên ^CEB=^BFC=90ˆCEB=ˆBFC=90

=> Điểm E, F thuộc đường tròn đường kính BC.

=> B, C, E, F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC (điều cần chứng minh).

Nhận xét: Bài toán chứng minh bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn bằng cách chứng minh hai điểm nhìn một cạnh tạo bởi hai điểm còn lại cùng dưới một góc vuông.

 3) Tam giác AEH và ADH có chung góc tại đỉnh A và ^AEH=^ADC=90ˆAEH=ˆADC=90 nên ∆AEH đồng dạng với ∆ADC AEAD=AHACAE.AC=AH.ADAEAD=AHACAE.AC=AH.AD (điều cần chứng minh).

Tam giác BEC và ADC có chung góc tại đỉnh C và ^BEC=^ADC=90ˆBEC=ˆADC=90 nên ∆BEC ∆ADC

BEAD=BCACAD.BC=CE.ACBEAD=BCACAD.BC=CE.AC (điều cần chứng minh).

Nhận xét:  Bài toán chứng minh các đẳng thức bằng cách chứng minh các cặp tam giác đồng dạng.

 4) Ta có:

^A1=^C1ˆA1=ˆC1 (cùng phụ với ^FBCˆFBC);

^A1=^C2ˆA1=ˆC2 (cùng chắn cung của (O));

Suy ra ^C1=^C2ˆC1=ˆC2

CD là phân giác của ^HCMˆHCM

Tam giác CHM có CD vừa là phân giác vừa là đường cao nên cân tại C, suy ra CD đồng thời cũng la trung trực của HM.

H, M đối xứng với nhau qua BC (điều cần chứng minh).

5) Ta có:

^E1=^C1ˆE1=ˆC1 (cùng chắn cung trong đường tròn đi qua bốn điểm B, C, E, F);

^C1=^E2ˆC1=ˆE2 (cùng chắn cung trong đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEHD);

Suy ra: ^E1=^E2ˆE1=ˆE2

EB là phân giác của ^FEDˆFED.

Chứng minh tương tự: FC là phân giác của ^DFEˆDFE

FCEB={H}FCEB={H} nên H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Tổng các chữ số của 1 số có hai chữ số là 9. Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu được cũng viết bằng hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó.

2) Chứng minh hàm số y = 2x luôn đồng biến trên tập R.

Xem đáp án » 13/07/2024 8,596

Câu 2:

Cho biểu thức P=(xx1xxxx+1x+x)  :  x+2x2

1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P?

2) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P có giá trị nguyên?

Xem đáp án » 13/07/2024 2,957

Câu 3:

Tìm x,y,zN thỏa mãn: x+23=y+z.

Xem đáp án » 13/07/2024 1,909

Câu 4:

1) Giải hệ phương trình: {x2y2+3=0x+y=1.

2) Giải phương trình: x32x24x=0.

3) Cho phương trình x2+2(m2)x+m22x+4=0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt x1,x2 thỏa mãn 2x21+x221x1x2=115m?

Xem đáp án » 13/07/2024 717