Gọi S là tập hợp các số tự nhiên, mỗi số không có quá 3 chữ số và tổng các chữ số bằng 9. Lấy ngẫu nhiên một số từ . Tính xác suất để số lấy ra có chữ số hàng trăm là 4.

Chọn A

- Bổ đề: Cho , ta có:

“Số nghiệm nguyên không âm của phương trình 

Thật vậy: Đặt 

Khi đó  và 

Hiển nhiên số nghiệm nguyên không âm của (1) bằng số nghiệm nguyên dương của (2)

- Xếp m + n chữ số 1 thành một hàng: có 1 cách.

- Xếp n - 1 dấu gạch ngang "-" vào trong m + n -1 khoảng trống giữa các chữ số 1 (mỗi khoảng trống nhiều nhất một dấu gạch ngang) để chia dãy m + n  chữ số 1 thành n phần (mỗi phần có ít nhất một chữ số 1): có $C_{m+n-1}^{n-1}$ cách.

Mỗi phần được chia ra có tổng các chữ số 1 lần lượt là 

và cho ta một nghiệm nguyên dương của phương trình (2).

Do đó số nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là 

Suy ra số nghiệm nguyên không âm của phương trình (1) là $C_{m+n-1}^{n-1}$ (đpcm)

Bây giờ ta sẽ áp dụng kết quả của bổ đề để giải bài toán đã cho:

- Tính số phần tử của tập S:

Gọi phần tử của S là $\overline{abc}$  vơí và a + b + c = 9 (*)

Theo bổ đề thì số nghiệm nguyên không âm của (*) là 

Vậy n(S) = 55

- Tính số các phần tử của S có chữ số hàng trăm bằng 4.

Khi đó a= 4 và b + c = 5 (**).

Theo bổ đề thì số nghiệm nguyên không âm của (**) là

Vậy có tất cả 6phần tử của S có chữ số hàng trăm bằng 4.

- Xét phép thử: “Lấy ngẫu nhiên một số từ tập S” và biến cố A: “Số lấy ra có chữ số hàng trăm bằng 4” 

Ta có 

Vậy xác suất của biến cố A là