Tình cảm gia đình có sức mạnh phi trường. Bạn Vì Quyết Chiến – Cậu bé 13 tuổi qua thương nhớ em trai của mình đã vượt qua một quãng đường dài 180km từ Sơn La đến bệnh viện  Nhi Trung ương Hà Nội để thăm em. Sau khi đi bằng xe đạp 7 giờ, bạn ấy được lên xe khách và đi tiếp 1 giờ 30 phút nữa thì đến nơi. Biết vận tốc của xe khách lớn hơn vận tốc của xe đạp là 35 km/h. Tính vận tốc xe đạp của bạn Chiến.

 

    a) Ta có: \[\widehat {MOB} = {90^0}\] (do AB\[ \bot \]MN) và \[\widehat {MHB} = {90^0}\](do MH\[ \bot \]BC)

    Suy ra: \[\widehat {MOB} + \widehat {MHB} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\]

    \[ \Rightarrow \]Tứ giác BOMH nội tiếp.

    b) ∆OMB vuông cân tại O nên \[\widehat {OBM} = \widehat {OMB}\]    (1)

    Tứ giác BOMH nội tiếp nên \[\widehat {OBM} = \widehat {OHM}\] (cùng chắn cung OM)

    và \[\widehat {OMB} = \widehat {OHB}\] (cùng chắn cung OB)    (2)

    Từ (1) và (2) suy ra: \[\widehat {OHM} = \widehat {OHB}\]

      \[ \Rightarrow \] HO là tia phân giác của \[\widehat {MHB}\] \[ \Rightarrow \frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{MH}}{{HB}}\] (3)

      Áp dụng hệ thức lượng trong ∆BMC vuông tại M có MH là đường cao Ta có:   \[H{M^2} = HC.HB \Rightarrow \frac{{HM}}{{HB}} = \frac{{HC}}{{HM}}\] (4)

    Từ (3) và (4) suy ra: \[\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{HC}}{{HM}}\left( {\rm{5}} \right) \Rightarrow ME.HM = BE.HC\](đpcm)

    c) Vì \[\widehat {MHC} = {90^0}\](do MH\[ \bot \]BC) nên đường tròn ngoại tiếp ∆MHC có đường kính là MC

    \[ \Rightarrow \widehat {MKC} = {90^0}\](góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

    MN là đường kính của đường tròn (O) nên \[\widehat {MKN} = {90^0}\](góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

    \[ \Rightarrow \widehat {MKC} + \widehat {MKN} = {180^0}\]

    \[ \Rightarrow \]3 điểm C, K, N thẳng hàng                           (*)

    ∆MHC ∽ ∆BMC (g.g) \[ \Rightarrow \frac{{HC}}{{MH}} = \frac{{MC}}{{BM}}\].

    Mà MB = BN (do ∆MBN cân tại B)

    \[ \Rightarrow \]\[\frac{{HC}}{{HM}} = \frac{{MC}}{{BN}}\], kết hợp với \[\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{HC}}{{HM}}\] (theo (5) )

    Suy ra: \[\frac{{MC}}{{BN}} = \frac{{ME}}{{BE}}\] . Mà \[\widehat {EBN} = \widehat {EMC} = {90^0}\]\[ \Rightarrow \]∆MCE ∽ ∆BNE (c.g.c)

    \[ \Rightarrow \widehat {MEC} = \widehat {BEN}\], mà \[\widehat {MEC} + \widehat {BEC} = {180^0}\] (do 3 điểm M, E, B thẳng hàng)

    \[ \Rightarrow \widehat {BEC} + \widehat {BEN} = {180^0}\]

    \[ \Rightarrow \] 3 điểm C, E, N thẳng hàng                          (**)

    Từ (*) và (**) suy ra 4 điểm C, K, E, N thẳng hàng

    \[ \Rightarrow \]3 điểm C, K, E thẳng hàng (đpcm)