Câu hỏi:

12/07/2024 108,134

Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA lấy điểm C khác điểm M. Kẻ MH vuông góc với BC (H thuộc BC).

          a) Chứng minh BOMH là tứ giác nội tiếp.

          b) MB cắt OH tại E. Chứng minh ME.MH = BE.HC.

          c) Gọi giao điểm của đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp ∆MHC là K. Chứng minh 3 điểm C, K, E thẳng hàng.

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack
 Media VietJack

    a) Ta có: \[\widehat {MOB} = {90^0}\] (do AB\[ \bot \]MN) và \[\widehat {MHB} = {90^0}\](do MH\[ \bot \]BC)

    Suy ra: \[\widehat {MOB} + \widehat {MHB} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\]

    \[ \Rightarrow \]Tứ giác BOMH nội tiếp.

    b) ∆OMB vuông cân tại O nên \[\widehat {OBM} = \widehat {OMB}\]    (1)

    Tứ giác BOMH nội tiếp nên \[\widehat {OBM} = \widehat {OHM}\] (cùng chắn cung OM)

    \[\widehat {OMB} = \widehat {OHB}\] (cùng chắn cung OB)    (2)

    Từ (1) và (2) suy ra: \[\widehat {OHM} = \widehat {OHB}\]

      \[ \Rightarrow \] HO là tia phân giác của \[\widehat {MHB}\] \[ \Rightarrow \frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{MH}}{{HB}}\] (3)

      Áp dụng hệ thức lượng trong ∆BMC vuông tại M có MH là đường cao Ta có:   \[H{M^2} = HC.HB \Rightarrow \frac{{HM}}{{HB}} = \frac{{HC}}{{HM}}\] (4)

    Từ (3) và (4) suy ra: \[\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{HC}}{{HM}}\left( {\rm{5}} \right) \Rightarrow ME.HM = BE.HC\](đpcm)

    c) Vì \[\widehat {MHC} = {90^0}\](do MH\[ \bot \]BC) nên đường tròn ngoại tiếp ∆MHC có đường kính là MC

    \[ \Rightarrow \widehat {MKC} = {90^0}\](góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

    MN là đường kính của đường tròn (O) nên \[\widehat {MKN} = {90^0}\](góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

    \[ \Rightarrow \widehat {MKC} + \widehat {MKN} = {180^0}\]

    \[ \Rightarrow \]3 điểm C, K, N thẳng hàng                           (*)

    ∆MHC ∆BMC (g.g) \[ \Rightarrow \frac{{HC}}{{MH}} = \frac{{MC}}{{BM}}\].

    Mà MB = BN (do ∆MBN cân tại B)

    \[ \Rightarrow \]\[\frac{{HC}}{{HM}} = \frac{{MC}}{{BN}}\], kết hợp với \[\frac{{ME}}{{BE}} = \frac{{HC}}{{HM}}\] (theo (5) )

    Suy ra: \[\frac{{MC}}{{BN}} = \frac{{ME}}{{BE}}\] . Mà \[\widehat {EBN} = \widehat {EMC} = {90^0}\]\[ \Rightarrow \]∆MCE ∆BNE (c.g.c)

    \[ \Rightarrow \widehat {MEC} = \widehat {BEN}\], mà \[\widehat {MEC} + \widehat {BEC} = {180^0}\] (do 3 điểm M, E, B thẳng hàng)

    \[ \Rightarrow \widehat {BEC} + \widehat {BEN} = {180^0}\]

    \[ \Rightarrow \] 3 điểm C, E, N thẳng hàng                          (**)

    Từ (*) và (**) suy ra 4 điểm C, K, E, N thẳng hàng

    \[ \Rightarrow \]3 điểm C, K, E thẳng hàng (đpcm)

Bình luận


Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Tình cảm gia đình có sức mạnh phi trường. Bạn Vì Quyết Chiến – Cậu bé 13 tuổi qua thương nhớ em trai của mình đã vượt qua một quãng đường dài 180km từ Sơn La đến bệnh viện  Nhi Trung ương Hà Nội để thăm em. Sau khi đi bằng xe đạp 7 giờ, bạn ấy được lên xe khách và đi tiếp 1 giờ 30 phút nữa thì đến nơi. Biết vận tốc của xe khách lớn hơn vận tốc của xe đạp là 35 km/h. Tính vận tốc xe đạp của bạn Chiến.

Xem đáp án » 12/07/2024 6,325

Câu 2:

Giải phương trình: \[\sqrt {5{x^2} + 27x + 25} - 5\sqrt {x + 1} = \sqrt {{x^2} - 4} .\]

Xem đáp án » 12/07/2024 3,755

Câu 3:

1) Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b, biết rằng đồ thị hàm số đi qua điểm M(1; –1) và N(2; 1).

2) Cho phương trình: \[{x^2} - 2mx + {m^2} - m + 3 = 0\] (1), với m là tham số.

    a) Giải phương trình (1) với m = 4.

    b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm \[{x_1},\,\,{x_2}\]và biểu thức:

    \[P = {x_1}{x_2} - {x_1} - {x_2}\]đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem đáp án » 12/07/2024 2,499

Câu 4:

Rút gọn biểu thức sau:

    a) \[A = \left( {\sqrt {12}  - 2\sqrt 5 } \right)\sqrt 3  + \sqrt {60} .\]

    b) \[B = \frac{{\sqrt {4x} }}{{x - 3}}.\sqrt {\frac{{{x^2} - 6x + 9}}{x}} \,\]với 0 < x < 3.

Xem đáp án » 13/07/2024 2,055
Vietjack official store
Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

  • Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

  • Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
  • Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
  • Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
  • Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua