Với giá trị thực nào của tham số m thì đường thẳng $y=2\text{x}+m$  cắt đồ thị hàm số $y=\frac{x+3}{x+1}$  tại hai điểm phân biệt M, N sao cho MN ngắn nhất?

Đáp án C

TXĐ: $x\ge 3;x\ne 1;x\ne 1$

Ÿ$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^2-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)}{(\sqrt{x+3}+2)(x-1)(x+1)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x-1}{(\sqrt{x+3}+2)(x-1)(x+1)}$

 $=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{(\sqrt{x+3}+2)(x+1)}=\frac{1}{8}\ne +\infty$nên  không là TCĐ của đồ thị hàm số đã cho.

Ÿ$\underset{x\to {(-1)}^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x+3}-2}{x^2-1}=-\infty$  nên $x=-1$  là TCĐ của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận đứng .

Đáp án B

Ta có $f^2\left(\cos x\right)+(m-2018)f\left(\cos x\right)+m-2019=0\iff [\begin{array}{l}f\left(\cos x\right)=-1\\ f\left(\cos x\right)=2019-m\end{array}$

+ Với $f\left(\cos x\right)=-1\iff [\begin{array}{l}\cos x=0\\ \cos x=a>1\left(loai\right)\end{array}\iff \cos x=0$ .

Phương trình này có hai nghiệm $x_1=\frac{\pi }{2}$  và $x_2=\frac{3\pi }{2}$  thuộc đoạn $[0;2\pi ]$ .

+ Với $f\left(\cos x\right)=2019-m$  ta cần tìm điều kiện để phương trình này có 4 nghiệm phân biệt thuộc $[0;2\pi ]$  khác $x_1,{\text{ x}}_2$ .

Đặt $t=\cos x\in [-1;1]$  với mọi $x\in [0;2\pi ]$   ta được $f\left(t\right)=2019-m$  (1).

Với $t=-1$  phương trình (1) cho đúng một nghiệm  $x=\pi$ với t=0 phương trình cho hai nghiệm $x_1,{\text{ x}}_2$ .

Với mỗi $t\in (-1;1]\backslash \left\{0\right\}$   phương trình cho hai nghiệm $x\in [0;2\pi ]$  khác $x_1,{\text{ x}}_2$  .

Vậy điều kiện cần tìm là phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt $t\in (-1;1]\backslash \left\{0\right\}$

$\iff -1<2019-m\le 1\iff 2018\le m<2020$.